Cómo acercarse a la 2-Dimensional de Relaciones de Recurrencia

Question

Cómo resolver los siguientes 2 dimensiones de la recurrencia de la relación?

Deje $n, n'$ ser números naturales $> 0.$ Deje $r$ ser un entero positivo $\ge 0.$ $$ P(n+n',r) = \sum_{i=0}^{r} P(n, i)*P(n', r-i) $$ donde el caso base es $$ P(1, r) = 1, \quad P(n, 0)=1$$

$P(n,r)$ sólo está definida para $n\ge1$ $r\ge0$

Answer 1

Esto es cómo lo resuelto -

Deje $P(n,r)$ el valor del coeficiente de ${ x }^{ r }$ en

$$\left( 1+x+{ x }^{ 2 }.....\infty \right) *\left( 1+x+{ x }^{ 2 }.....\infty \right) *\left( 1+x+{ x }^{ 2 }.....\infty \right) ......n\quad terms$$ Elegí este polinomio para que el caso base es satisfecho. Ahora vamos a dividir n términos de cada uno de los cuales es igual a 1/(1-x) en dos partes de tamaño $n_1$ $n_2$ es decir $(n_1+n_2=n)$. Si queremos encontrar el coeficiente de $x^i (i<=r)$ $n_1$ términos.e $P(n_1, i)$ entonces tenemos que multiplicar el coeficiente de $x^{r-i}$ $n_2$ términos es decir $P(n_2, r-i)$ donde i varía de 0 a r. Por lo tanto el recurrente relación se mantiene. Sabemos que el coeficiente de ${ x }^{ r }$ ${ (1-x) }^{ -n }$ es $^{n-1+r}$ $C_{n-1}$ .

Por lo tanto $$P(n,r)\quad= \quad^{n-1+r}\hspace{5 px}C_{n-1}$$

Pero, ¿y si el caso base se cambia a algo como esto

$$P(n,0)=1 \quad and \quad P(1, r)=cos(r)$$

Answer 2

Permítanme asumir que el problema realmente es la siguiente:

Encontrar todos los de la familia de los números de $(P(n,r))_{n\geqslant1,r\geqslant0}$ tal que, para cada $n\geqslant1$, $m\geqslant1$ y $r\geqslant0$, $P(n,0)=P(1,r)=1$ y $$ P(n+m,r)=\sum_{s=0}^rP(n,s)P(m,r-s). $$

Un método para resolver este problema es introducir, para cada una de las $n\geqslant1$, el formal de la serie de $Q_n(x)$ definido por $$ Q_n(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}P(n,r)x^r, $$ para algunos el parámetro $x$, y el uso de estos objetos de la siguiente manera:

1. Identificar las $Q_1(x)$.
2. Traducir la recursión anterior en una relación entre cada $Q_{n+m}(x)$, $Q_n(x)$ y $Q_m(x)$.
3. Deducir, a partir de 1. y 2. una fórmula explícita para cada $Q_n(x)$.
4. Deducir, a partir de 3. el valor de cada $P(n,r)$.

Ahora, disparar...

Edit: Para diferentes condiciones iniciales tales como $P(n,0)=1$$P(1,r)=\cos(r)$, el método permanece exactamente como descrito anteriormente, sólo el resultado del paso 1. los cambios y la viabilidad del paso 4. es disminuido. En este caso específico, se obtiene $$ \sum\limits_{i=0}^{+\infty}P(n,r)x^r=\left(\frac{1-x\cos 1}{1-2x\cos 1+x^2}\right)^n. $$ Para ver esto, observe que $P(1,r)$ es la parte real de la $\mathrm e^{\mathrm i r}$, por lo tanto $Q_1(x)$ es la parte real de $$ \sum\limits_{i=0}^{+\infty}\mathrm e^{\mathrm i r}x^r=\frac1{1-x\mathrm e^{\mathrm i}}=\frac{1-x\mathrm e^{-\mathrm i}}{|1-x\mathrm e^{\mathrm i}|^2}=\frac{1-x\cos1+\mathrm ix\sin1}{1-2x\cos 1+x^2}. $$