Una identidad que implican un campo de muerte

Question

¿Alguien sabe cómo demostrar la siguiente identidad. Suponemos que $\Omega$ es un campo de muerte y $U, V$ son campos vectoriales. Entonces

$[\Omega ,\nabla _UV]-\nabla _U([\Omega, V])=\nabla _{[\Omega ,U]}V.$

Referencia - parte inferior de la página 342 de Christodolou del papel en la formación de los agujeros negros y singularidades.

Muchas gracias

Answer 1

Si expande la primera de dos soportes en términos de la derivada covariante de obtener

$$\begin{align} [\Omega ,\nabla _UV]-\nabla _U([\Omega, V]) - \nabla _{[\Omega ,U]}V &= \nabla_\Omega \nabla_U V - \nabla_U \nabla_\Omega V - \nabla _{[\Omega ,U]}V + \nabla_U \nabla_V \Omega - \nabla_{\nabla_U V} \Omega \\ &= R(\Omega, U)V+\nabla^2_{U,V} \Omega, \end{align}$$

así que esta diferencia es tensorial en $U,V$. Nombre de $Z(U,V) = Z^k{}_{ij} U^i V^j \partial_k$, lo vemos en la curvatura de la simetría $R_{likj}=R_{kjli}$ que

$$\begin{align} Z_{kij} &= R_{likj}\Omega^l+\Omega_{k;ij} \\ &= \Omega_{i;kj} -\Omega_{i;jk} +\Omega_{k;ji}. \end{align}$$

Ahora, usando el hecho de que $\Omega$ está Matando; es decir $\Omega_{i;j} = -\Omega_{j;i}$:

$$ Z_{kij} = \Omega_{i;kj} + \Omega_{j;ik} + \Omega_{k;ji}. $$

Pero aplicar la identidad de Bianchi a $R_{likj}\Omega^l = \Omega_{i;kj} +\Omega_{j;ik}$ y se obtiene

$$ 0 = \Omega_{i;kj} + \Omega_{j;ik} + \Omega_{k;ji} + \Omega_{i;kj} + \Omega_{j;ik} + \Omega_{k;ji} = 2Z_{kij},$$

por lo $Z(U,V) = 0$.