Métrica Isometría es siempre suave?

Question

Deje $M$ ser un suave colector. Deje $d$ ser cualquier métrica en $M$ lo que induce a la topología en $M$. Deje $f:(M,d) \rightarrow (M,d) $ ser una isometría (en el sentido de la métrica espacios). Es cierto que $f$ debe ser suave?

(si la métrica $d$ es inducida por algunos métrica de Riemann $g$, entonces la respuesta es positiva por el Myers–Steenrod teorema)

Answer 1

No. Deje $(X,d')$ ser un espacio métrico y deje $f \colon X \rightarrow X$ ser un homeomorphism. Se puede definir una nueva métrica en $X$ (que se podría llamar el pullback métrica) por $d(x,y) := d'(f(x),f(y))$. La topología inducida por $d$ es la misma que la topología inducida por $d'$ $\varphi \colon X \rightarrow X$ es una isometría para $(X,d')$ si y sólo si $f^{-1} \circ \varphi \circ f$ es una isometría para $(X,d)$. Esto le da a usted una construcción que se modifica isometrías posiblemente nonsmooth mapas.

Para generar un contraejemplo, tomar $M = \mathbb{R}$, $d'(x,y) = |x - y|$, $f = x^3$ (un homeomorphism pero no diffeomorphism de $\mathbb{R}$ con la habitual suave estructura) y $\varphi(x) = x + 1$. A continuación, $d(x,y) = |x^3 - y^3|$ es una métrica en $\mathbb{R}$ la inducción de la norma de la topología y de la $\tilde{\varphi}(x) = (f^{-1} \circ \varphi \circ f)(x) = \left(x^3 + 1\right)^\frac{1}{3}$ es un nonsmooth isometría de $(\mathbb{R}, d)$.