En el siguiente diagrama, $AB = 4$ y $AC = 3$ . ¿Cuál es el área del círculo? No encuentro ninguna forma de resolverlo.
Bonitos diagramas. ¿Cómo los dibujaste?
Respuestas
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Tim
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Dejar $r$ sea el radio. Entonces la ecuación del círculo con centro (0,0) y radio r es $x^2 + y^2 = r^2$
$-r+3$ y $r-4$ satisfacen esta ecuación. Por lo tanto, colóquelas y obtenga el valor de $r$ .
$$ (-r+3)^2 + (r-4)^2 = r^2$$
$$r^2 -14r +25 = 0$$
Al resolver, hay dos posibilidades : uno es de 2,1 y el otro de 11,9. Lógicamente rechazamos el primer valor, ya que el rectángulo así formado lo tocaría internamente. :
Dejemos que $r$ sea el radio del círculo con centro $O$ . Unir el vértice de contacto $P$ del pequeño rectángulo al centro $O$ . Dibuja dos líneas perpendiculares $PQ$ & $OQ$ para acertar $\Delta PQO$ (como se muestra en la figura anterior). Utilizando el teorema de Pitágoras en la derecha $\Delta PQO$ como sigue $$r^2=(r-3)^2+(r-4)^2$$ $$r^2-14r+25=0$$ Ahora, resuelve la ecuación cuadrática anterior para encontrar los valores de $r$ como sigue $$r=\frac{-(-14)\pm\sqrt{(-14)^2-4(1)(25)}}{2(1)}=7\pm2\sqrt{6}$$ Hay dos casos. Para $r=7-2\sqrt 6$ para que sea válido, el rectángulo tiene que estar tocando el círculo internamente. Pero en la figura dada, el caso es exactamente el contrario, por lo tanto $r=7+2\sqrt 6$ es aceptable.
Sustituyendo el valor de $r$ calcular el área del círculo $$=\color{red}{\pi (7+2\sqrt6)^2\approx 444.8046352 }$$
Oli
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Bernard
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Una pista:
Dejemos que $M$ sea el cuarto vértice del rectángulo (en el círculo), y denote $x$ su ángulo polar, con respecto al eje polar que pasa por el centro del círculo. Se puede expresar $\sin x$ y $\cos x$ como funciones del radio $R$ del círculo. A continuación, escriba La identidad de Pitágoras $\;\sin^2x+\cos^2x=1\;$ para obtener una ecuación cuadrática para $R$ . No olvides que la solución, si la hay, está sujeta a la condición $R\ge 4$ .
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Es un disco no un círculo :)