En el análisis complejo de la clase (usando Stein Análisis Complejo), hemos aprendido acerca de la derivación de la de Cauchy-Riemann ecuaciones, y que tenía sentido. Tomamos un holomorphic $f : O \rightarrow \mathbb{C}$ donde $O \subset \mathbb{C}$ está abierto, y de dividir $f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y)$. Luego, después de algunos cálculos, llegamos a $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$. Sin embargo, no he aprendido acerca del cálculo multivariable así que estoy de nuevo a la diferenciación parcial. Lo anterior hace sentido para mí, pero en un ejercicio que nos piden para demostrar que, en forma polar, estas ecuaciones toman la forma $\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}$$\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} = - \frac{\partial v}{\partial r}$. Ahora estoy confundido. Qué significan la misma $u$ $v$ que había estado utilizando antes? Tal vez del mismo modo definen $f(re^{i\theta}) = u(r, \theta) e^{i v(r, \theta)}$ y me quiere para derivar las ecuaciones para que? La primera opción no tiene ningún sentido para mí y no tuve éxito en el intento de la segunda. Creo que me falta bastante completa aclaración sobre este tema, alguien puede ayudar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No,$u$ y$v$ siguen siendo las partes real e imaginaria de$f$, pero$\mathbb{C}$ (como el dominio, no el dominio) ahora se toma como forma polar. Explícitamente, tenemos$x=r\cos\theta$ y$y=r\sin\theta$; sustituya estas expresiones en$u(x,y)$ y$v(x,y)$, luego realice la diferenciación parcial con respecto a$r$ y$\theta$ con la regla de cadena.
Puesto que usted no está familiarizado con multivariable calc, permítanme aclarar:
Si tenemos en cuenta los puntos en $\mathbb{R}^2$ usando coordenadas polares, tenemos, como anon dijo, $x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$. Esto significa $$u(x,y)=u(x(r,\theta),y(r,\theta))=u(r\cos\theta,r\sin\theta).$$ Usando la regla de la cadena, obtenemos $$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}(x(r,\theta),y(r,\theta))\cdot\frac{\partial x}{\partial r}(r,\theta)+\frac{\partial u}{\partial y}(x(r,\theta),y(r,\theta))\cdot\frac{\partial y}{\partial r}(r,\theta)$$ and $$\frac{\partial u}{\partial \theta}=\frac{\partial u}{\partial x}(x(r,\theta),y(r,\theta))\cdot\frac{\partial x}{\partial \theta}(r,\theta)+\frac{\partial u}{\partial y}(x(r,\theta),y(r,\theta))\cdot\frac{\partial y}{\partial \theta}(r,\theta).$$
Como podemos encontrar $\frac{\partial x}{\partial r}, \frac{\partial y}{\partial r}, \frac{\partial x}{\partial \theta}$ $\frac{\partial y}{\partial \theta}$ explícitamente en términos de$r$$\theta$, entonces obtenemos un sistema de ecuaciones que nos permite resolver de $\frac{\partial u}{\partial x}$ $\frac{\partial u}{\partial y}$ en términos de $r$, $\theta$, $\frac{\partial u}{\partial r}$, y $\frac{\partial u}{\partial \theta}$. A partir de aquí es sólo una cuestión de conectar el suplente expresiones para $u_x$ $u_y$ nuevo en el Cauchy-Riemann ecuaciones que usted sabe y amor y la simplificación.
