¿Cuál es el área de la región sombreada, sabiendo que el arco AC es 1/4 de la circunferencia con centro en D?
He probado usando álgebra para resolver esto pero parecía insuficiente, pensé en usar integrales para encontrar el área, encontrando las ecuaciones de geometría analítica para los círculos pero nada pasó.
Considerar esta imagen:
Creo que la zona de la plaza de $ABCD$ puede ser expresado como la suma de
En otras palabras, esto puede ser escrito como:
$$A_{ABCD}=\text{shaded}+\frac14a^2\pi+\frac14\left(a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\pi\right)+2CHF\tag{1}$$
El reto ahora es resolver para el área de corte en la $CHF$, pero esto se puede hacer si queremos visualizar el problema como este:
Hemos rectángulo $ACFJ$ con un área de $\frac{a^2}{2}$ descompone como: $$A_{ACFJ}=A_{\text{sector} \,CAH}+A_{\text{sector} \,HEF}+A_{\triangle AEJ}+A_{\triangle HAE}+CHF=\frac{a^2}{2}\tag{2}$$
Para encontrar el área de un sector de la $CAH$, necesitamos resolver para $\angle CAH$. Sabemos que $AC=AH=a$. También sabemos que $H$ es la intersección de dos círculos definido por: $$x^2+y^2=a^2\\ \left(x-\frac a2\right)^2+\left(y-\frac 2\right)^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2\\ H:\left(\frac{1}{8} \left(5 a-\sqrt{7}\right)\sqrt{a^2-\frac{1}{64} \left(5 a-\sqrt{7}\right)^2}\right)$$ Utilizando la fórmula de la distancia, tenemos: $$CH:\frac{1}{2} \sqrt{-a \left(\sqrt{10 \sqrt{7}+32} \sqrt{a^2}-8 a\right)}$$ Mediante el coseno de la ley, tenemos: $$\angle\text{CAH}=\cos ^{-1}\left(\frac{\text{AC}^2+\text{AH}^2-\text{CH}^2}{2 \text{AC} \text{AH}}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5 \sqrt{7}}{2}+8}\right)$$ Lo que nos da: $$A_{\text{sector}\,CAH}=\frac{a^2 \angle\text{CAH}}{2}=\frac{1}{2} a^2 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5 \sqrt{7}}{2}+8}\right)$$
Repitiendo el mismo proceso, obtenemos $A_{\text{sector}\,HEF}$ como: $$=FE=\frac a2\\ HF=\frac{\sqrt{a \left(\left(\sqrt{7}+13\right) a-2 \sqrt{10 \sqrt{7}+32} \sqrt{a^2}\right)}}{2 \sqrt{2}}\\ \ángulo\text{HEF}=\cos ^{-1}\left(\frac{\text{FE}^2+\text{ÉL}^2-\text{HF}^2}{2 \text{FE} \text {}}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \left(-\sqrt{7}+2 \sqrt{10 \sqrt{7}+32}-9\right)\right)\\ A_{\text{sector de la}\,HEF}=\frac{1}{2} \left(\frac{a}{2}\right)^2 \text{HEF}=\frac{1}{8}^2 \cos ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{10 \sqrt{7}+32} \sqrt{a^2}-\left(\sqrt{7}+9\right) un}{4}\right)$$
La solución para $A_{\triangle AEJ}$, sabemos que $AJ=EJ=\frac a2$, por lo tanto $$A_{\triangle AEJ}=\frac{1}{2} \left(\frac{a}{2}\right)^2$$ Sabemos que $AJ=EJ=\frac a2$, por lo $AE=\frac{a\sqrt2}2$, y dado que ya sabemos $\angle CAH$$\angle EAJ=\frac\pi4$, entonces: $$\angle\text{HAE}=-\angle\text{CAH}-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}-\cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5 \sqrt{7}}{2}+8}\right)$$
Y por lo tanto: $$A_{\triangle HAE}=\frac{\left(\sqrt{2} a\right) \text{AH} \sin (\text{HAE})}{2\ 2}$$
De $(2)$, ahora podemos resolver el área de $CHF$: $$CHF=\frac{1}{8} \left(3 a^2+a^2 \left(-\cos ^{-1}\left(\frac{2 \left(\frac{a^2}{2}-\frac{1}{8} a \left(\left(\sqrt{7}+13\right) a-2 \sqrt{10 \sqrt{7}+32} \sqrt{a^2}\right)\right)}{a^2}\right)\right)-4 a^2 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5 \sqrt{7}}{2}+8}\right)-2 \sqrt{2} a^2 \sin \left(\frac{\pi }{4}-\cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5 \sqrt{7}}{2}+8}\right)\right)\right)$$
De $(1)$ ahora podemos resolver para la región sombreada, y obtenemos: $$\text{shaded}\to-\frac{1}{16} a^2 \left(-4 \cos ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{10 \sqrt{7}+32} \sqrt{a^2}-\left(\sqrt{7}+9\right) a}{4 a}\right)+3 \pi -8 \left(2 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5 \sqrt{7}}{2}+8}\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi }{4}+\cos ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5 \sqrt{7}}{2}+8}\right)\right)\right)\right)$$
Sector 1 Ángulo de $= 2\cdot \sin^{-1}(\sqrt(\frac{31}{128})\cdot 2)= 2.78617$ rad
Sector 2 Ángulo de $= 2\cdot \sin^{-1}(\sqrt(\frac{31}{128})) = 1.02906$ rad
Área Sombreada = Área De Acordes Segmento 1 – Área De Acordes Segmento 2
Área Seg 1 = Área Del Sector 1 De La Zona Del Triángulo 1
$\frac{2.78617}{2π}\cdot π(\frac{a}{2})^2 - (\sqrt(\frac{31}{128})a)( \sqrt(\frac{97}{128})a - \sqrt(2)\frac{a}{2})$ $= .26785 a^2$
Un Seg 2 = Área Del Sector 2 De La Zona Del Triángulo 2
$\frac{1.02906}{2π}\cdot πa^2 – (\sqrt(\frac{31}{128})a(\sqrt(\frac{97}{128})a)$ $= .08612 a^2$
Área Sombreada $= (.26785 - .08612) a^2 = .18173 a^2$
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