Prueba

Question

Suponemos $\forall n \in \mathbb {N}\setminus{0}$.

¿Cómo puedo probar que $\gcd(n^2(n^2+1),2n+1)=\gcd(2n+1,5)$?

Answer 1

$\rm mod\,\ {2n!+!1}!:\ \color{#C00}{2n\equiv-1}\,\Rightarrow\,16(n^4!+!n^2)\equiv (\color{#C00}{2n})^4!!+4(\color{#C00}{2n})^2!\equiv (\color{#C00}{-1})^4!!+4(\color{#C00}{-1})^2!\equiv\, \color{#0A0}5,\ $ por lo tanto

$\rm\qquad (\color{#C00}{2n!+!1},\color{#0A0}5)=(2n!+!1,16(n^4!+!n^2)) = (2n!+!1,n^4!+!n^2)\,\ $ $\rm\ (2n!+!1,16)=1\ $ y Euclides, y

desde $\rm\quad\,\ (\color{#C00}a,\,\color{#0A0}b) =\, (a,\,c) \ \ if\ \ b\equiv c\:\ (mod\ a)\ \ $ [Ley de gcd modular, corazón del Algoritmo euclidiano]

Answer 2

Sugerencias:

(1) para cualquier $\,n\in\Bbb N\;,\;\;(2n+1,5)=1\,\,\vee\; 5\,$;

(2) tenemos

$$2n+1=0\pmod 5\,\implies n=2\pmod 5\implies n^2(n^2+1)=4\cdot 5= 0\pmod 5\ldots$$

Answer 3

Usando el Algoritmo euclidiano, tenemos $$16n^2(n^2+1)-(8n^3-4n^2+10n-5)(2n+1) = 5\tag {1}$$ por lo tanto, $(n^2(n^2+1),2n+1)\mid5$.

Además, desde $(5,16)=1$, tenemos $5\mid2n+1\Longleftrightarrow5\mid n^2(n^2+1)$. Por lo tanto, $$ (n ^ 2 (n ^ 2 +1), 2n +1) = (2n +1, 5) \tag {2} $