Cómo mostrar forma dos functors una adjunción

Question

Decir que tengo dos i $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ y $G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$. ¿Cómo puedo mostrar forman una adición sin escribir explícitamente la transformaciones naturales $\hom\mathcal{C}(x,Gy)\cong \hom\mathcal{D}(Fx,y)$?

Answer 1

Uno de los más importantes y también útil(!) descripciones es a través de la unidad y counit. Voy a bosquejar este, los detalles se pueden encontrar en cualquier libro en la categoría de teoría, o en el nlab.

Si $F :C \to D$ $G : D \to C$ son functors, a continuación, $F$ que queda adjunto a $G$ fib no son naturales transformaciones $\eta : \mathrm{id}_C \to GF$ (unidad) y $\varepsilon : FG \to \mathrm{id}_D$ (counit) tal que el triangular de las identidades de espera: Las composiciones $F \xrightarrow{F\eta} FGF \xrightarrow{\varepsilon F} F$ $G \xrightarrow{\eta G} GFG \xrightarrow{G \varepsilon} G$ igual a la identidad (en $F$ resp. $G$). Hay una buena visualización utilizando la cadena de diagramas. En realidad, este concepto se aplica a cada bicategory. Monoidal categorías son bicategories con un objeto, y en ese caso la definición anterior da la noción de la doble de los objetos. Así que, en general, esta definición es una especie de "categorified la dualidad". Tiene muchas más ventajas en la teoría, sino también en la práctica.

Este es un ejemplo típico (que debería ser más conocido): Considerar el functor $F : \mathsf{Top} \to \mathsf{\mathbb{C}Alg}^{op}$ la asignación de un espacio topológico $X$ $\mathbb{C}$- algebra de funciones continuas $C(X,\mathbb{C})$. Para un mapa continuo $f : X \to Y$ tenemos el pullback homomorphism $F(f) := f^* : C(Y,\mathbb{C}) \to C(X,\mathbb{C})$. Por el contrario, considerar el functor $G : \mathsf{\mathbb{C}Alg}^{op} \to \mathsf{Top}$, el cual se asigna un $\mathbb{C}$-álgebra $A$ para el conjunto de homomorphisms de $\mathbb{C}$-álgebras $\chi : A \to \mathbb{C}$ (caracteres), dotado de la topología de subespacio del producto ${\mathbb{C}}^A$. De nuevo la acción en morfismos está dada por la retirada. Hay un canónica de morfismos $\eta_X : X \to G(F(X))$ definido por $\eta_X(x)(f)=f(x)$. También hay un canónica de morfismos $\epsilon_A : F(G(A)) \to A$, es decir, un homomorphism de $\mathbb{C}$-álgebras $A \to F(G(A))$ dado por la misma fórmula, es decir,$\epsilon_A(a)(\chi)=\chi(a)$. Se verifica que el triangular identidades están satisfechos. Por lo tanto, $F$ que queda adjunto a $G$.

Uno de los propósitos principales de la adjunctions es aproximado de equivalencias de categorías. Esto se hace precisa la siguiente fácil lema o ejercicio:

Lema. Si $F$ que queda adjunto a $G$ con una unidad de $\eta$ y counit $\varepsilon$ como es arriba, a continuación, $x \in C$ es llamado un punto fijo si $\eta_x : x \to G(F(x))$ es un isomorfismo. En el mismo definimos $y \in D$ a un punto fijo si $\varepsilon_y : F(G(y)) \to y$ es un isomorfismo. Tenemos plena subcategorías $\mathrm{Fix}(GF) \subseteq C$$\mathrm{Fix}(FG) \subseteq D$, los cuales son conservados por $F$$G$. De hecho, $F$ $G$ inducir una equivalencia de categorías $\mathrm{Fix}(GF) \cong \mathrm{Fix}(FG)$.

Aplicando esto al ejemplo anterior, obtenemos el famoso Gelfand la dualidad entre el compacto de Hausdorff espacios y conmutativa unital C*-álgebras. Muchas más de las equivalencias de las categorías que surgen de esta manera. Espero que esto ilustra la importancia de la unidad y la counit descripción.

Answer 2

En categorías Mac Lane para el matemático de trabajo, en el capítulo de montajes, hay varias condiciones equivalentes listadas para verificar un par de functors son adjoints. Absolutamente a menudo un muy conveniente es verificar las identidades triangulares, especialmente cuando usted ya tiene la dos versión.

Answer 3

Una manera de hacer esto es Teorema del functor de Ajoint de Freyd. Nlab tiene una buena entrada, aquí http://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+functor+theorem#statement_14 .