Primero de todo, vamos a demostrar que
Si $N$ no es una potencia de $10$,$\log_{10}N \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
Si lo hace, entonces el $\log_{10}N=\frac{a}{b}, a,b\in\mathbb{Z}$, $N=10^{\frac{a}{b}}$ o $N^b=10^a$. Esto significa que $2^a \mid N^b$ $5^a \mid N^b$ $N^b$ no tiene otros divisores (de lo contrario $p$ primer s.t. $p \mid N^b \Rightarrow p\mid 2$ o $p\mid 5$). Por lo $N$ es una potencia de $10$ - contradicción.
Ahora, Kronecker la aproximación teorema dice que $\{M\cdot \log_{10}N\}$ ($\{\}$ parte fraccionaria) es denso en $[0,1]$. Lo que significa que, $\forall a< b, a,b\in [0,1], \exists M\in\mathbb{N}:$
$$a<\{M\cdot \log_{10}N\}<b \tag{1}$$
o
$$a<\{M\cdot \log_{10}N\}<b \iff
a+\left \lfloor M\cdot \log_{10}N \right \rfloor <M\cdot \log_{10}N<b+\left \lfloor M\cdot \log_{10}N \right \rfloor
\iff ...$$
Se nota de $k=\left \lfloor M\cdot \log_{10}N \right \rfloor$ o
$$... a+k <M\cdot \log_{10}N<b+k \iff 10^a\cdot10^k<N^M<10^b\cdot10^k \tag{2}$$
Ahora, podríamos tomar a $a,b$ tal que
$$10^a=1.023456789$$
$$10^b=1.0234567891$$
todo lo que necesitamos es $10^k$
- a cambio de $10^a=1.023456789$ $10234567890..0$
- a cambio de $10^b=1.0234567891$ $10234567891..0$
o $k$ a ser lo suficientemente grande. Pero debido a la densidad (por ejemplo, la simple dicotomía $(a,b)\rightarrow \left(a,\frac{a+b}{2}\right)$), habrá infinidad de $M$'s de satisfacciones $(1)$, para el seleccionado (fijo) $a,b$, haciendo de $k$ arbitrariamente grande.
