Pregunta tonta técnica sobre polinomios de Lagrange ' s «resolución algébrique»

Question

Yo decidí que me gustaría ir a través de Lagrange del "Sur la Résolution Algébrique des Équations".

En la página 3 tengo algo pegado. Aquí está el enlace que he estado trabajando: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN308900308&DMDID=DMDLOG_0019

En la página 208 (simplemente haga clic en el botón de avance 3 veces), después de nombrar $x=y+z$ para una ecuación de la forma $x^3+nx+p=0$, se llega a la ecuación $$(*): y^3+z^3+p+(3yz+n)(y+z)=0,$$ which I'm fine with. But then he sets both parts equal to zero with little explanation: $$y^3+z^3+p=0$$ $$3zy+n=0.$$ ¿Cómo puede hacer eso? Después de cachondeo con los casos de un tiempo, decidí que esto se justifica por el hecho de que $y$ $z$ son variables que no son estrictamente "decidido" por un determinado $x$, así como de las dos partes puede ser cero, se puede "forzar" a ser cero. Es decir, el tiempo que él sabe de una relación entre el $y$ $z$ para que el sistema funcione, no importa que no son otras soluciones para $(*)$, pero lo que no dicen explícitamente este, tan lejos como mi francés me dice, así que sólo quería confirmar que no estoy perdiendo algo aquí.

Answer 1

Esto no es una pregunta tonta, Lagrange tiene una ligeramente irritante tendencia a pasar por alto los detalles en este artículo - como se verá en las próximas páginas, que también es bastante despreocupada cuando se trata de dividir por cantidades que pueden o no igual a cero.

Va a ayudar aquí para declarar explícitamente lo que se reclama. Tenemos un valor de $x$ la satisfacción de:

$$x^3+nx+p=0$$

Obviamente existen números de $y$ $z$ tal que $y+z=x$. De hecho, hay infinitamente muchos. La pregunta es, ¿hay números de tal manera que no sólo se $y+z=x$, pero también se $3yz+n=0$?

La respuesta es sí. La segunda ecuación es $yz=-\frac n 3$, por lo que básicamente le estamos pidiendo a encontrar los dos números de $y$ $z$ dado que su suma y su producto. Esto es siempre posible:

$$y+z=s$$ $$yz=p$$

Esto se convierte en $z=s-y$ y, a continuación,$y(s-y)=p$, que es una ecuación de segundo grado y por lo tanto tiene un (posiblemente complejas, pero no se han molestado en Lagrange) solución.

Por lo tanto, vamos a $y$ $z$ ser esos dos números (los que la verificación de la anterior sistema de ecuaciones, quiero decir), y conectar estos valores en la ecuación original nos quedamos con $y^3+z^3+p=0$. En detalle, porque sabemos que el $x^3+nx+p=0$,$x=y+z$, podemos concluir que, después de la expansión y la recopilación de términos:

$$y^3+z^3+p+(3yz+n)(y+z)=0$$

Pero elegimos $y$ $z$ tal que $3yz+n=0$, dejando $y^3+z^3+p=0$.