cálculo de $r>0$ $\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=r}{f(z)g(z)dz}$

Question

Que $f : \mathbb{C}\setminus${$0$} $\to \mathbb{C}$ sea una función analítica con un polo simple de orden $1$ $0$ % de residuos $a_1$. Que $g : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ser analítico con $g(0)\neq 0$.calculate $r>0$

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=r}{f(z)g(z)dz}$$

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mis pensamientos:

la respuesta será $Res(f(z)).g(0)$ $a_1g(0)$. ¿Estoy correcto?

Answer 1

Verificación rápida:

Podemos escribir

$$f(z)=\frac{h(z)}{z}\;\;,\;\;\text{with analytic}\;\,h(z)$$

y así

$$\frac{1}{2\pi i}\int\limits{|z|=r}f(z)g(z)\,dz=\frac{1}{2\pi i}\int\limits{|z|=r}\frac{h(z)g(z)}{z}dz\stackrel{\text{Cauchy's Theorem}}=h(0)\cdot g(0)$$

Pero, por supuesto, $\,h(0)=a_1\ldots$

Answer 2

Sugerencia: $f$ Tiene un polo simple en $z=0$ % residuo $a_1$, entonces se puede escribir

$$ f(z)=\frac{a_1}{z}+h(z), $$

donde $h(z)$ es una función analítica.