¿Ecuación de Liouville-von Neumann puede derivar directamente del cuadro de Heisenberg?

Question

El Liouville-von Neumann ecuación para la densidad de la matriz es:

$$i\hbar\frac{\partial\rho}{\partial t}=[H,\rho],$$

mientras que en la imagen de Heisenberg:

$$\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)] +\frac{\partial A(t)}{\partial t}$$

si hemos de adoptar algún tipo de ley de la conservación (como en la teoría clásica), es decir,

$$\frac{d}{dt}A(t)=0. , Entonces tenemos

$$\frac{i}{\hbar}[H,A(t)] +\frac{\partial A(t)}{\partial t}=0$$

mediante la sustitución de $\rho=A(t)$, se puede llegar directamente a la ecuación de von Neumann.

Es esta derivación correcta? si es así, ¿cuál es el significado físico detrás de $\frac{d}{dt}A(t)=0$, entonces?

Answer 1

Así, la ecuación de von Neumann tiene witin de Schroedinger imagen y es inmediato probar que en la física cuántica (a diferencia de la ecuación de Liouville, que necesita de manera preventiva, establecer la no-trivial teorema de Liouville para la simpléctica medida en el espacio de fases). En efecto, como $\rho$ es una incoherente superposición de estados puros, uno tiene, $$\rho = \sum_k p_k |\psi_k \rangle \langle \psi_k|\:.$$ Por lo tanto, $\rho$ evoluciona en el tiempo como efecto de la norma de Schroedinger evolución de los estados puros de la mezcla, $$\rho(t) = \sum_k p_k U_t |\psi_k \rangle \langle \psi_k| U^\dagger_t = U_t \rho U^\dagger_t \:,$$ donde $U_t = e^{-\frac{it}{\hbar}H}$ es la hora habitual evolutor. Esta identidad inmediatamente lleva a la ecuación de von Neumann, $$\frac{d}{dt} \rho(t) = -\frac{i}{\hbar}[H, \rho]\:,\tag{1}$$ donde la derivada se calcula con respecto a la fuerte operador de topología (o débil), la misma noción de tiempo derivado que se utiliza en la ecuación de Schroedinger. Por desgracia, y en mi opinión erróneamente, que la derivada es muy a menudo indicado por $\frac{\partial}{\partial t}$ en lugar de $\frac{d}{dt}$. Esto tendría sentido si $\rho$ incluido otra dependencia del tiempo. Creo que de Heisenberg imagen, cuando los operadores ya depende del tiempo en Schroedinger imagen. En ese caso, para distinguir entre el $\partial/\partial t$ (referido a algunos paramétrico de la dependencia del tiempo presente ya en el Schroedinger imagen) y $d/dt$ (se refiere al tiempo total dipendence, incluyendo la derivada de Heisenberg evolución) tiene sentido. Aquí, en cambio, sólo tenemos una dependencia del tiempo.

Si $\rho(t)$ fueron una época-según se observa en Schroedinger imagen, pasando de Heisenberg imagen que nos permitiría obtener $$\frac{d\rho_H}{dt} = \frac{\partial \rho_H}{\partial t} +\frac{i}{\hbar}[H, \rho_H]=0\:,\tag{2}$$ es decir, $$\frac{d\rho_H}{dt}=0\:.$$ En realidad, todo lo que es trivial, sin computar cualquier derivado, ya que $$\rho_H(t) = U^\dagger_t \rho(t) U_t = U^\dagger_t U_t \rho U^\dagger_t U_t= \rho\:.$$ La conserva de la cantidad podría ser $\rho$ sí, pero no tiene mucho sentido físico a priori, debido a que $\rho$ es un estado, no de un observable y Heisenberg evolución no es adecuada para él. (Incluso si el resultado es formalmente correcta, ya que los estados, en la imagen de Heisenberg, son constantes en el tiempo).

En la física clásica, la derivada parcial $\partial/\partial t$ siempre tiene sentido, ya que $\rho$ es una función tanto de $t$ y el estado en el espacio de fases. En esa formulación (2) tiene un significado preciso en términos de una ley de conservación. Se dice que, a lo largo de la integral de las líneas de Hamiltonianos de flujo, la densidad de probabilidad es constante. En otras palabras, el Hamiltoniano de flujo es incompresible (véase el par de comentarios finales en mi respuesta a esta pregunta Conservado cantidades y el total de productos derivados?)