Algunos subgrupos del grupo de 2 por 2 matrices invertible: ¿son normales?

Question

Me encontré con este problema de matemáticas relacionados con el facebook del grupo. Mi respuesta es la B, y esta es mi justificación:

$1.) \ H_2 \not\lhd G$

$ \text{Vamos a} \ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \G \ \text{,donde} \ $ $Un^{-1}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ -1& 2 \end{pmatrix} .$

$\text{Vamos a} \ B= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \en H_2.$ $\texto{Entonces} \ ABA^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \no\en H_2.$

$2.)\ H_1 \lhd G$

$\forall g \in G\forall h\in H_1: \det(gng^{-1})= \det(g)\det(g^{-1})\det(n)=1$

Sin embargo, la persona que publica este problema me dijo que mi solución es incorrecta. Puedo saber lo que está mal con mi solución? Gracias.

Answer 1

$H_1$ es un subgrupo normal porque es el núcleo de det.

$H_2$ no es normal ya que muchas matrices que no son parte superior triangular son conjugado a una matriz triangular superior. Por lo tanto, no es invariante bajo conjugación.