Complejo integral con Fourier

Question

Así que, he estado rascando mi cabeza esta para todo el día. Estoy tratando de resolver la siguiente integral

$$\int^\infty_{-\infty} \frac{e^{i \alpha (X-\xi)}}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2 }} \, d\alpha$$

$\beta$ aquí es sólo una constante. Tan solo por un poco de contexto, me llevó a una transformación de Fourier para resolver una ecuación diferencial parcial y después de la resolución y usando las condiciones de contorno obtuve una expresión en el Espacio de Fourier. Ahora estoy tratando de encontrar la Inversa de la transformada de Fourier, que da la integral anterior que no puedo resolver.

He resuelto de la siguiente utilizando el contorno de integración

$$\int^\infty_{-\infty} e^{i \alpha (X-\xi)} (i \alpha)^{3/4} \, d\alpha$$

Gracias chicos.

Answer 1

La transformada de Fourier de$\frac{1}{\sqrt{x^2+\beta^2}}$ es una función de Bessel modificada de la segunda clase . Por ejemplo,

ps

No por casualidad, el RHS de$$\mathcal{F}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,K_0(|s|).\tag{1}$ es la función de densidad de una distribución de producto normal .