Ejemplos de matrices que son a la vez asimétricas y ortogonales

Question

¿Existen matrices que satisfagan estas dos condiciones? Es decir, una matriz $A$ tal que

$$A^T=A^{-1}=-A$$

Lo que sé es que una matriz asimétrica con $n$ es singular cuando $n$ es impar.

Answer 1

La matriz $$A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}$$ es simétrica y ortogonal. En dimensiones pares, siempre podemos construir una matriz sesgado-simétrica y ortogonal como la suma directa de múltiples copias de $A$ . es decir, la matriz $$\bigoplus_{i=1}^k A=\underbrace{\begin{bmatrix} A &&&\\ &A&&\\ &&\ddots & \\ &&&A\\ \end{bmatrix}}_{k \text{ copies}}$$ es un $2k \times 2k$ matriz ortogonal y asimétrica

Sin embargo, en las dimensiones Impares, no hay matrices reales que sean sesgadas-simétricas y ortogonales. Como ya sabes, las matrices reales asimétricas son singulares en dimensiones impar, por lo que deben tener al menos un valor propio que sea cero. Por lo tanto, si $B$ es un $n\times n$ matriz con $n$ impar, debe ser el caso que $\text{det}(B)=0$ . Si $B$ es ortogonal sin embargo, $B^TB=I$ y así $$\text{det}(B^TB)=\text{det}(B^T)\text{det}(B)=[\text{det}(B)]^2=\text{det}(I)=1$$ así $\text{det}(B)= \pm 1$ y así $B$ no puede ser a la vez ortogonal y asimétrico en dimensiones Impares.

Answer 2

Una clasificación general: Obsérvese que cualquier matriz de este tipo es normal y, por tanto, unitariamente diagonalizable. Cualquier matriz ortogonal es unitaria, por lo que todos sus valores propios están contenidos en el círculo unitario $C=\{z:|z|=1\}$ del plano complejo. Del mismo modo, cualquier simetría sesgada tiene valores propios en $i \Bbb R$ es decir, puramente imaginario. Por lo tanto, las matrices ortogonales y simétricas son precisamente aquellas matrices cuyos valores propios se encuentran en $C \cap i \Bbb R = \{-i,i\}$ y que son unitariamente diagonalizables.

En dimensiones Impares, el polinomio característico tiene al menos una raíz real, por lo que no existen tales matrices. En dimensiones pares, tales matrices son precisamente aquellas cuya base propia es ortonormal, y cuyo polinomio característico es $(z-i)^{d_1}(z+i)^{d_2}$ donde $d_1+d_2=d$ . Si queremos que la matriz tenga coeficientes reales, entonces necesariamente $d_1=d_2=d/2$ y por tanto el polinomio característico es $(z^2+1)^{d/2}$ . Esto implica (por diagonalización ortonormal), que la matriz mencionada por @Alex es la sólo matriz real simétrica y ortogonal, hasta un cambio de base ortogonal (es decir, la conjugación en $O(d, \Bbb R)$ ).

Answer 3

Me gusta $$ \begin{pmatrix} 0 & \mathrm{i} \\ -\mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \text{.} $$

(Tras la edición: Este coincide con el contenido de la matriz Respuesta de Shalop y sospecho que apunta en la dirección en la que J.M. no es un matemático estaba pensando su comentario .)