¿La implicación material siempre utilizable como el conectivo principal dentro del ámbito de un cuantificador existencial?

Question

Puede la implicación material a ser usado alguna vez como el principal conectivo dentro del alcance de un cuantificador existencial?

Por lo general, una conjunción es la principal conectivo en las oraciones enlazadas por un cuantificador existencial. Mi texto dice que esto es

Porque '(∃x)', dice algo muy poco: 'Hay algo'. Así que normalmente se necesitan para construir la cuenta de que algo para decir algo interesante

'Normalmente' no es 'siempre'.

El texto no excluye la principal conectivo ser algo distinto de la conjunción. Por ejemplo, si yo quería anotar:

• Hay manzanas o hay naranjas. ∃x(Ax ∨ Ox)
• Hay algo de tal forma que, si se trata de un nuke, también es un arma de destrucción masiva. ∃x(Nx → Wx)

Por lo tanto, es necesariamente el caso de que el conectivo principal de una oración enlazado con existencial quanitifer una conjunción?

Answer 1

Hay una respuesta a esta pregunta, que si la pregunta está pidiendo un ejemplo concreto, entonces la respuesta es siempre que.

Answer 2

Tienes razón que tenga más sentido para el superior conectivo debajo de una $\exists$ a una conjunción (o una fórmula atómica).

Algo más de la escritura en virtud de la $\exists$ no está mal, pero rara vez será la más natural de expresar el significado que quiere.

Por ejemplo, $\exists$ distribuye más de la disyunción, así que en lugar de "hay algo que está a una manzana o una naranja" $\exists x.(Ax\lor Ox)$ normalmente, es más natural pensar "no es una manzana o una naranja" $(\exists x.Ax)\lor(\exists x.Ox)$ o, equivalentemente, $(\exists x.Ax)\lor(\exists y.Oy)$ - como, de hecho, puede ser visto desde el inglés fraseo usted sugiere para $\exists x.(Ax\lor Ox)$.

En la lógica clásica $p\to q$ es lo mismo que $\neg p\lor q$, lo $\exists x.(Nx\to Wx)$ se puede decir más simple (?) como $(\exists x.\neg Nx)\lor(\exists y.Wy)$ "hay algo que no es un nuke, o las armas de destrucción masiva". Esto hace que sea más claro que el real contenido de la declaración, en realidad no dependen de si cualquier particular cosa es, simultáneamente, un nuke y un arma de destrucción masiva.

Finalmente, $\exists x.\neg p(x)$ es lo mismo que $\neg\forall x.p(x)$. Aquí es menos claro que la redacción es la más natural. A veces es más claro decir que hay algo que no es un pony; otras veces es más natural decir que no todo es un pony.

Podemos utilizar la $\neg$ correspondencia a reescribir $(\exists x.\neg Nx)\lor(\exists y.Wy)$ a $\neg(\forall x.Nx)\lor(\exists y.Wy)$, que podemos reconocer como el equivalente de una implicación: $(\forall x.Nx)\to(\exists y.Wy)$. Así

Hay algo de tal forma que, si se trata de un nuke, también es un arma de destrucción masiva.

en realidad es equivalente a

Si todo lo que hay son armas nucleares, entonces no es un arma de destrucción masiva en algún lugar.

La última formulación parece al menos para mí dar la más intuitiva comprensión de lo que la declaración de reclamaciones.