¿Cómo deriva $y \geq (b+1)$ $(b+1)b^n < (b+1)^n b$?

Question

En la forma lineal en los logaritmos de números algébricos verdaderos cerca de 1en papel, está escrito en la página 5 que -

$y \geq (b+1)$, $(b+1)b^n

$(b+1)x^n - by^n =1 \implies (b+1)x^n > by^n $ y junto con $(b+1)b^n

Por favor explicar, gracias de antemano.

Answer 1

El contexto es que $b, x, y$ son enteros positivos aquí y $(x, y) \neq (1, 1)$.

En estas condiciones, $x y$ can), así $y \geqslant x + 1$ y por lo tanto $(b + 1)x^n - b(x + 1)^n \geqslant 1$. Así que esto es $> 0$, es decir, $$\frac{b + 1}{b} > \Big(\frac{x + 1}{x}\Big)^n \geqslant \frac{x + 1}{x}$ $ (y esto implica incluso que $x > b$, es decir, $y > b + 1$).

Answer 2

La ecuación dada es-

$(b+1)x^n - by^n =1 \cdots (1)$.

Caso $1$: Si $x=y$,

entonces la ecuación (1), en $(b+1)x^n - bx^n =1 \implies bx^n+x^n - bx^n =1 \implies x^n =1 \implies x=1 $, pero dado que el $(x, y) \neq (1, 1)$. Por eso, $x \neq y$.

Caso $2$: Si $x>y$,

a continuación, vamos a $x=y+c$ (donde $c>0$, $c$ es un número entero dado que x,y son números enteros) sustituimos el valor de $x$ en la ecuación (1) -

$(b+1)(y+c)^n - by^n =1\implies b(y+c)^n+(y+c)^n - by^n =1 $. Por la inspección, nos encontramos con que la diferencia entre el $b(y+c)^n+(y+c)^n $ $by^n$ es mayor que $1$ (lector podrá ver más claramente si se expande $(y+c)^n $ (binomio de expansión), tenga en cuenta que $c$ es un número entero).

Caso $3$: Así, $x<y$ (la única posibilidad). Vamos, $y=x+d$. Entonces la ecuación (1) se convierte en-

$(b+1)x^n - b(x+d)^n =1 $ [sustituyendo el valor de $y=x+d$$(1)$]

$\implies \frac{b+1}{b} - (\frac{x+d}{x})^n =\frac{1}{bx^n} $ [dividir ambos lados de la equitación por $bx^n$ ]

$\implies \frac{b+1}{b} - (\frac{x+d}{x})^n >0 $ [Desde, $\frac{1}{bx^n}>0$]

$\implies \frac{b+1}{b} > (\frac{x+d}{x})^n $ $\implies \frac{b+1}{b} > \frac{x+d}{x}$ [Desde, $(\frac{x+d}{x})^n > (\frac{x+d}{x}) $ ] $\implies 1+ \frac{1}{b} > 1 + \frac{d}{x} $ $\implies \frac{1}{b} >\frac{d}{x} $ $\implies x > bd $. Aquí, $d \geq 1$, podemos ver que para $d=1, x>b$, como se ha observado anteriormente $y>x$, podemos deducir, $y>b \implies y\geq b+1$.