¿Por qué es la localización en un primer ideal de un anillo local?

Question

Me gustaría saber, ¿por qué $\mathfrak{p} A_{\mathfrak{p}}$ es el máximo ideal del anillo local $A_{\mathfrak{p}}$ donde $\mathfrak{p}$ es un primer ideal de $A$ $A_{\mathfrak{p}}$ es la localización del anillo de $A$ con respecto al conjunto multiplicativo $S = A -\mathfrak{p}$ ? Muchas gracias.

N. B. : tengo que decirte que yo no soy muy bueno en Álgebra, así que por favor, ser más amable y generoso en su explicación, y me da un montón de detalles acerca de este tema, por favor. Gracias.

Answer 1

La localización de la $A_\mathfrak{p}$ está dado por todas las fracciones $\frac{a}{b}$$a\in R$$b\in R\setminus\mathfrak{p}$. Por lo $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ se compone de todas las fracciones a $\frac{a}{b}$$a\in\mathfrak{p}$$b\in R\setminus\mathfrak{p}$.

Para mostrar que $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es el único ideal maximal en $A_\mathfrak{p}$, vamos a $I$ un ideal en $A_\mathfrak{p}$$I\not\subseteq\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$. A continuación, hay un elemento $\frac{a}{b}\in I$$a,b\in R\setminus\mathfrak{p}$. Por lo $\frac{b}{a}$ es un elemento de $A_\mathfrak{p}$, y de $\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} = 1$ tenemos que $I$ contiene el elemento invertible $\frac{a}{b}$. Por lo tanto, $I = A_\mathfrak{p}$.

Answer 2

Básicamente lo que usted necesita saber es cómo las unidades en $A_\mathfrak{p}$ aspecto. Más precisamente, un elemento en la localización, decir $\dfrac{a}{b} \in A_\mathfrak{p}$ es una unidad si y sólo si $a \in A \setminus \mathfrak{p}$. Entonces lo que esto nos dice es que el conjunto de no-unidades de $A_\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$.

Por lo tanto, ahora si quieres ver por qué esto muestra que $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es un ideal maximal, supongamos que $I$ es un ideal en el $A_\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p} \subsetneq I$. A continuación, $I$ debe contener una unidad, y por lo tanto $I = A_\mathfrak{p}$, lo $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es de hecho un ideal maximal.

Por último, usted necesita para asegurarse de que usted entiende por qué la caracterización de $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ como el conjunto de no-unidades en $A_\mathfrak{p}$ implica que es el único ideal maximal en $A_\mathfrak{p}$. Así, cualquier ideal $\mathfrak{m} \subsetneq A_\mathfrak{p}$ tendría que ser incluida en el conjunto de no-unidades (ya que de lo contrario podría contener una unidad y que implicaría que el ideal es el conjunto de anillo), es decir,$\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$, por lo que si $\mathfrak{m}$ es máxima, esto implica que $\mathfrak{m} = \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$.

Por lo tanto $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es el único ideal maximal, y, por tanto, $A_\mathfrak{p}$ es un anillo local.