¿Cuál es el producto interno entre un ket de posición y un ket de dos estados (o multiestado)?

Question

Recientemente estoy estudiando el sistema de dos estados en la mecánica cuántica.

Como aprendí, en el espacio Hilbert de una partícula sin espina, la relación entre una función escalar y un estado ket se satisface como,

$$u( \vec r)= \langle\vec r|u \rangle $$

donde $|r \rangle $ es el eigenstate del operador de posición y $|u \rangle $ es el estado ket de la partícula sin espinas.

Me pregunto si se puede obtener una relación similar con el ket de dos estados o de varios estados. Por ejemplo, si $|u \rangle $ es el estado de giro de dos estados como $|u \rangle = a|+ \rangle + b|- \rangle $ ¿cuál es el resultado de $ \langle\vec r|u \rangle $ ?

Creo que debería ser ascalar como $a \langle\vec r|+ \rangle + b \langle\vec r|- \rangle $ debido a la definición del producto interno, pero no puedo encontrar su significado físico. Además, ¿cuál es la función escalar correspondiente de $ \langle\vec r|+ \rangle $ ?

Answer 1

No puedes hacer $\langle \mathbf{r} | + \rangle$ porque estarías mezclando dos espacios de Hilbert diferentes. Los estados $|+\rangle$ y $|-\rangle$ son una base para el espacio de Hilbert de un sistema de espín de dos estados, que es bidimensional. Mientras tanto, los estados $|\mathbf{r}\rangle$ son bases para el espacio de Hilbert de una partícula sin espín que se mueve en $\mathbb{R}^3$ (o tu dimensión favorita), que es de dimensión infinita (es el espacio de las funciones de onda). Sería como preguntar cuál es el producto escalar de $(2,3)$ y $(-1,5,2)$ es: no tiene sentido, los dos vectores pertenecen a espacios diferentes.

Lo que puedes hacer, si tienes una partícula de spin 1/2 moviéndose en $\mathbb{R}^k$ es combinar los dos espacios en algo llamado producto tensorial. A grandes rasgos, si $V$ y $W$ son espacios vectoriales con bases $\{|v_i\rangle\}$ y $\{|w_j\rangle\}$ y dimensiones $n$ y $m$ el producto tensorial $V \otimes W$ es un espacio de dimensión $nm$ y elementos de base dados por $|v_i\rangle |w_j\rangle$ para todos $(i,j)$ .

En nuestra situación, los elementos base de una partícula de espín 1/2 en movimiento serían de la forma $|\mathbb{r}\rangle |+\rangle$ y $|\mathbb{r}\rangle |-\rangle$ si estamos en una dimensión, un estado general podría expresarse como

$$|\psi\rangle = \int dx\, \psi_+(x) |x\rangle |+\rangle + \int dx\, \psi_-(x) |x\rangle |-\rangle.$$

Puedes ver que tenemos que especificar una función de onda para cada uno de los estados de espín. Tomando el producto interior con algún $\langle x|$ todavía nos dejaría con la parte del giro:

$$\langle x | \psi \rangle = \psi_+(x) |+\rangle + \psi_-(x) |-\rangle.$$