Supongo que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es dos veces diferenciable. Mostrar que $\lim_{x \to \infty} f'' (x) = 0$, condiciones dadas.

Question

Supongo que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es dos veces diferenciable. Mostrar que $\lim{x \to \infty} f''(x) = 0$, dado que el $\lim{x \to \infty} f(x)$ y $\lim_{x \to \infty} f''(x)$ existe.

Mi intento:

Que $x > 0$. Por MVT, hay $c_1(x) \in (x,2x)$ y $c_2(x) \in (3x,4x)$ con

$$1/x(f(2x)-f(x)) = f'(c_1(x)); \quad 1/x(f(4x)-f(3x)) = f'(c_2(x))$$

Otra vez, por MVT, hay $c_3(x) \in (c_1(x), c_2(x))$ con

$$f''(c_3(x)) ( c_2(x)-c_1(x)) = f'(c_2(x))-f'(c_1(x)) = 1/x (f(2x)-f(x)-f(4x)+f(3x))$$

Tomando el $\lim_{x \to \infty}$ de ambos lados, podemos encontrar:

$$\lim_{x \to \infty} f'' (c_3(x)) (c_2(x)-c_1(x)) = 0$$

Porque $c_2(x) - c1(x) > 3x - 2x = x \to \infty$, debe ser el caso que $\lim{x \to \infty} f''(c_3(x)) = 0$

$c_3(x) > c1(x) > x \to \infty$, Lo que implica que el $\lim{x \to \infty} f''(x) = 0$.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Su enfoque es correcto. Aquí le damos otro enfoque:

Con esta pregunta vemos que $f'(x) \to 0$ $x\to\infty $. Y aplicando el teorema de valor medio $f'(x+1)-f'(x)=f''(\xi)$ que muestra que el $f''(x) \to 0$.