¿De cuántas maneras podemos construir $(a,b,c,d)$ tal que $a \geq b, c \geq d$ y $a+b \geq c+d$ ?

Question

Llevo un tiempo atascado en el problema de conteo que se describe a continuación. Estoy construyendo secuencias ordenadas de cuatro enteros positivos de la forma $(a,b,c,d)$ cada uno de los cuales está acotado por encima, es decir $$a,b,c,d \in \{1,2,...,N\}$$ para que cada una de las variables pueda tomar $N$ valores posibles. Por supuesto, el número de listas que podemos formar de esta manera es $N^4$ . Ahora, impongo que ambos $a\geq b$ y $c \geq d$ . Como estas condiciones son independientes, se puede considerar el número de formas de construir los dos primeros elementos de la lista y elevar al cuadrado. El número de formas de construir $(a,b)$ tal que $a \geq b$ es simplemente $\frac 12 N(N+1)$ Así que la respuesta a este problema es $$\left(\frac 12 N(N+1) \right)^2=\frac 14 N^2(N+1)^2.$$ Ahora, donde me estoy atascando es en la adición de una tercera restricción. Se trata de exigir que $a+b \geq c+d$ Por lo tanto, los dos primeros y los dos últimos componentes dependen el uno del otro. Por lo tanto, mi pregunta es ¿Cuántas listas ordenadas de la forma $(a,b,c,d)$ tal que $$a,b,c,d \in \{1,2,...,N\}$$ $$a \geq b, \qquad c\geq d$$ $$a+b \geq c+d$$ ¿están ahí?

Answer 1

Estoy de acuerdo con el análisis anterior. Sabemos que el número de formas $a+b > c+d$ es igual al número de formas $a+b < c+d$ . Encontramos el número de formas $a+b = c+d$ llamándolo $f(n)$ . Entonces la respuesta al problema es $$ \frac{\displaystyle\frac{n^2(n+1)^2}{4}-f(n)}{2} + f(n) = \frac{n^2(n+1)^2}{8} + \frac{f(n)}{2}.$$ El valor de $f(n)$ depende de la paridad de $n$ . Si $n$ está en paz, $$ f_e(n) = \frac{n(2n^2+3n+4)}{12}. $$ Si $n$ es impar, $$ f_o(n) = \frac{(n+1)(2n^2+n+3)}{12}. $$ La función para impar e incluso $n$ se llegó a establecer un patrón usando números y luego usando la inducción.