Decidir qué afirmaciones sobre la matriz A es verdadera donde$A^3+A^2-3A+I=0$

Question

Una es $2 \times 2$ matriz. $$A^3+A^2-3A+I=0$$ Decidir lo que es verdad.

$\quad$ A) 1 es valor propio de A.
$\quad$ B) Det(A) es 1.
$\quad$ C) $A^{-1}$ existe.
$\quad$ D) Si B es la inversa de A, $B^3-3B^2+B+I=0$.

Las opciones son {a,B}, {A,C}, {C,D}, {B,C,D}.

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Lo que he hecho hasta ahora es,

R : Si me multiplicar vector propio v$_{(2 \times 1)}$ a la ecuación dada, Se satisfará la ecuación si autovalor de a es 1.
$\quad$ Pero no estoy seguro de si es suficiente para decir que Una declaración es verdadera.

B: (?)

C: $A(-A^2-A+3)=I$, así que es verdad.

D: $B=-A^2-A+3. $
$\quad B^3-3B^2+B+I=0=B(B^2-3B+1)+I\;$ , Si puedo sustituir B, entonces
$\quad =(-A^2-A+3)(A^4+2A^3-2A^2-3A+1)=-A^3-A^2+3A=I$.
$\quad$ Así que es verdad.

He hecho correctamente?
y ¿Cómo debo ir para las declaraciones a y B?

Answer 1

Sus respuestas por (c) y (d) se ven bien (aunque tengo que admitir que no crujía, el álgebra de su respuesta a la parte (d)).

Para las partes (a) y (b), se tiene un polinomio $p(x)$ tal que $p(A) = 0$. Los autovalores de a $A$ debe ser raíces de $p(x)$, pero (importante) no vice-versa. Hay más raíces de las dimensiones, lo que significa que al menos una raíz no es un autovalor.

Dicho esto, ahora tenemos una lista de posibles valores propios que podemos tener:

1. $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$
2. $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1 + \sqrt{2}$
3. $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1 - \sqrt{2}$
4. $\lambda_1 = -1 + \sqrt{2}$, $\lambda_2 = -1 + \sqrt{2}$
5. $\lambda_1 = -1 + \sqrt{2}$, $\lambda_2 = -1 - \sqrt{2}$
6. $\lambda_1 = -1 - \sqrt{2}$, $\lambda_2 = -1 - \sqrt{2}$

Todos los 6 posibilidades de arriba son posibles. De hecho, poner cada uno de estos pares de números en una matriz diagonal, y usted tendrá una matriz de $A$ que satisface el dado por el polinomio de la ecuación, con el par de valores propios. Tenga en cuenta que, en los casos 4, 5, 6, $1$ no es un autovalor, de modo que (a) es falsa. También, en todos los casos excepto el 1, el factor determinante no es $1$, de modo que (b) es falsa.

Answer 2

Las explicaciones.

• R. Por supuesto, $$ (\boldsymbol A - \boldsymbol I)(\boldsymbol A^2 + \boldsymbol A - \boldsymbol I) = \boldsymbol O = (\boldsymbol A -\boldsymbol I)(\boldsymbol A - (-1 + \sqrt 2)\boldsymbol I) (\boldsymbol A - (-1 - \sqrt 2)\boldsymbol I), $$ es decir, $p(x)=(x-1)(x + 1-\sqrt 2)(x + 1 + \sqrt 2)$ anula $\boldsymbol A$. Supongamos que estamos considerando la posibilidad real de matrices, entonces el polinomio mínimo $m(x)$ divide $p(x)$. Claramente $m(x)$$(x + 1 + \sqrt 2)$. Ejemplo de $\boldsymbol A = (-1-\sqrt 2) \boldsymbol I_2$ satisface la ecuación, sino $\boldsymbol A$ no tiene autovalores es igual a $1$. Por lo tanto $\color{red}{\mathsf {False}}$.
• B. Usar el mismo contador en el ejemplo anterior, sabemos que $\det(\boldsymbol A) = (1 + \sqrt 2)^2 \neq 1$, lo $\color{red}{\mathsf {False}}$.
• C. está a la derecha.
• D. Parece bien.

Answer 3

Vamos $\lambda$($\neq 0$) ser una raíz real de $p(x) = x^3 + x^2 - 3x + 1 = 0$. A continuación, tenga en cuenta que $\lambda I$ también satisface la ecuación de $p(x) = 0$,ya que: $$ p(\lambda I) = (\lambda^3 + \lambda^2 - 3 \lambda + 1) I = 0 $$

por cómo elegimos $\lambda$. Tenga en cuenta que el determinante de a$\lambda I$$\lambda^2$, y todos sus autovalores son $\lambda$.

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Es fácil ver que las verdaderas raíces de $p(x)$$1,-\sqrt 2 \pm 1$. De estos, dos no satisfacer $\lambda^2 = 1$. En consecuencia, $\lambda I$$\lambda = -\sqrt 2 \pm 1$, servir como contraejemplos de $a$$b$.

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La prueba de $c$ es correcta.

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Para $d$ si $B = A^{-1}$, basta con multiplicar la ecuación de $A^3 + A^2 -3A + I = 0$ $B^3$ y el uso de $AB = I$ a ver lo que se obtiene.

Answer 4

$$ A^3+A^2-3A+I = 0 \\ (A-I)(A^2+2A-I) = 0 \\ (A-I)((A+I)^2-2I) = 0 \\ (A-I)(a+(1-\sqrt{2})I)(a+(1+\sqrt{2})I)=0. $$

Por eso, $A$ posible autovalores $1,-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}$. Es posible que $$ A = I, \mbox{ o } A=(-1+\sqrt{2})I, \mbox{ o } A=(-1-\sqrt{2})I. $$

• (A) no es necesariamente cierto, porque ninguno de los de arriba se puede descartar. Por lo $1$ no tiene que ser un autovalor de a $A$, incluso pensé que podría ser.

• (B) no es necesariamente cierto. El determinante de a$A$$1$, pero no tiene que ser si, por ejemplo,$A=(-I+\sqrt{2})I$.

• (C) debe ser verdad porque $$ UN(-A^2+3I)=I \\ (-A^2+3I)=I. $$

• (D) es cierto porque, si $B$ es la inversa de a $A$, luego

$$ (B^{-1})^3+B^{-1})^2-3B^{-1}+I = 0 \\ I+B-3B^2+B^3 = 0. $$

Por lo tanto, (C) y (D) debe ser cierto, pero (A) y (B) puede o no puede ser cierto.