Considere la posibilidad de la
Problema. Deje $\gamma$ ser una curva parametrizada en $\mathbb{R}^{2}$ $\gamma: I \to \Omega$ donde $I$ es un intervalo de $\mathbb{R}$ $\Omega$ abierto en $\mathbb{R}^{2}$. Deje $a,b,c: \Omega \to \mathbb{R}$ ser dadas las funciones. Determinar una función de $\varphi(x,y)$ solución de la ecuación $$a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x} + b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y} = c(x,y) \tag{Eq 1}$$ donde $\varphi(\gamma(t)) = \varphi_{0}(t)$ $\varphi_{0}: I \to \mathbb{R}$ es una función dada.
Prueba. (sólo vagamente idea) Fija un punto de $\gamma_{0} = \gamma_{0}(s_{0}) = \gamma_{0}(x_{0},y_{0})$$\gamma$, considerar la curva de $\Gamma(t) = (x(t),y(t))$ pasando a través de$\gamma_{0}$, $\Gamma(0) = \gamma_{0}$. Definir $z(t) = \varphi(x(t),y(t))$ donde $\varphi$ es una solución de Eq 1. Si $\Gamma$ es diferenciable, por la Regla de la Cadena, $$\frac{dz}{dt} = \langle \Gamma'(t), \nabla\varphi(\Gamma(t)) \rangle = \frac{dx}{dt}\frac{d\varphi}{dx} + \frac{dy}{dt}\frac{d\varphi}{dy}.$$ Por lo tanto, si $\Gamma$ satisface el sistema de educación a distancia $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = a(x,y),&x(0) = x_{0}\\ \frac{dy}{dt} = b(x,y),&y(0) = y_{0}, \end{casos}\etiqueta{Sy 1}$$ la solución de $\varphi$ problemas $$\frac{dz}{dt} = c(x,y),\quad z(0)=\varphi(s_{0}).$$ Si repetimos el argumento anterior para todos los puntos $\gamma(s)$, $s \in I$, se obtiene una familia de curvas en las que la solución de $\varphi$ puede ser determinado.
Las soluciones de la Sy 1 definir un cambio de variables, es decir, una función $$f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$$ $$(t,s) \mapsto (x,y)$$ y el Teorema de la Función Inversa garantiza una solución si $(a,b)$ es transversal a la curva de $\gamma$ donde $(a,b)$ es $(x,y) \mapsto (a(x,y),b(x,y))$.
Mi objetivo es aplicar el Método de las Características para resolver el unidimensional lineal de la Ecuación de Onda que es dada por
$$\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x} + c\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y} = 0$$
y escribimos $$\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x} + c\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y} = \left(\frac{\partial }{\partial x} + c\frac{\partial }{\partial y}\right)\left(\frac{\partial }{\partial x} - c\frac{\partial }{\partial y}\right)u = 0.$$ Vamos $$\left(\frac{\partial }{\partial x} - c\frac{\partial }{\partial y}\right)u = v(x,y) = v.$$ Entonces es suficiente para resolver
$$\underbrace{\frac{\partial u}{\partial x} - c\frac{\partial u}{\partial y} = v}_{(1)}\quad\text{and}\quad\underbrace{\frac{\partial v}{\partial x} + c\frac{\partial v}{\partial y} = 0}_{(2)}$$
No podía aplicar el problema anterior para obtener una solución a las ecuaciones (1) y (2). Hans Lundmark me dio una buena referencia, pero en él, el autor hace la construcción con algunos detalles diferentes y mi profesor quiere que yo uso el problema, exactamente como es, para obtener la solución. Quisiera que alguien me pudiera ayudar con esto.
