definido e indefinido sumas e integrales

Question

Se me acaba de ocurrir que tiendo a pensar que las integrales principalmente como indefinida integrales y sumas principalmente como definitiva sumas. Es decir, cuando veo a una integral definida, mi primera aproximación a resolver es encontrar una antiderivada, y solo en caso de que no parece prometedor voy a considerar si podría haber una manera especial para resolver estos límites especiales; mientras que cuando veo a una suma que no suele ser la primera cosa que se me ocurre que las condiciones podrían ser las diferencias de alguna función. En otras palabras, " una suma no parece ser más que una forma particular, entre muchos de evaluación, mientras que la búsqueda de antiderivatives es la principal forma de evaluar las integrales. De hecho, he aprendido acerca de la telescópico sumas mucho más tarde que sobre antiderivatives, y sólo he relativamente recientemente aprendí a ver a estos dos fenómenos como las diferentes versiones de la misma cosa. También a mí me parece que, empíricamente, la fracción de casos en los que este enfoque es útil es mucho mayor para las integrales de sumas.

Entonces, me pregunto por qué. ¿Ve usted una sistemática razón por la que este método es más productivo para las integrales? O es tal vez sólo una cuestión de educación y de un "objetivo" de la vista no hacer una distinción entre las sumas e integrales en este sentido?

Soy consciente de que esto es más bien una suave pregunta, pero tengo la esperanza de que podría generar una cierta penetración sin que conduce a mantener debates abiertos.

Answer 1

Su respuesta es que probablemente enterrado dentro de esta declaración: "me enteré telescópica sumas mucho más tarde que sobre antiderivatives."

Todos los matemáticos, y una fracción importante de los graduados de la universidad, el estudio de la integración de al menos un año, con frecuencia muchos más. En lugar de menos de estudio discreto técnicas, y sólo los especialistas en el estudio de la diferencia de cálculo para un año o más. El analógica para encontrar una antiderivada es encontrar una WZ par, la cual es vista como una "técnica avanzada".

Tal vez si fuera a la inversa el plan de estudios, la enseñanza de todo el mundo las diferencias y la reserva de cálculo diferencial para los especialistas, su pregunta podría haber sido invertido. Por cierto, creo que esto podría no ser una mala idea; métodos continuos, que solía gobernar el mundo de la ciencia y de la ingeniería, están siendo rápidamente reemplazados por aproximación discreta y de simulación.

Answer 2

También, lea acerca de cómo Feynman aprendido algunos no estándar métodos de integración indefinida (tales como la diferenciación bajo el signo integral) y utilizar estos para obtener varias integrales que generalmente se necesita la integración compleja.

Answer 3

Creo que telescópica sumas no es el concepto análogo a anti diferenciación para la resolución definitiva de sumas/integrales, porque es demasiado especializada. Al encontrar una antiderivada (para el propósito de la evaluación de una integral definida), encontrar una función que corresponde a una integral definida a partir de un punto fijo: $x^2/2=\int_0^xt\,\mathrm dt$ le ayuda a evaluar $\int_{12}^{517}t\,\mathrm dt$. Para ciertas sumas de dinero, de hacer el mismo: $n(n+1)/2=\sum_{i=1}^ni$ puede ayudarle a evaluar $\sum_{i=12}^{517}i$. Es cierto que, cuando se tiene una suma que la de los telescopios, entonces usted tiene una buena fórmula para la suma de un fijo de índice (usualmente $1$) a uno arbitrario, pero no cada fórmula como la que proviene de un telescopio.

Creo que la razón más sencilla es más productivo en el caso de las integrales es que hay más elementales antiderivatives de "suma determinada de fórmulas". Una suma de fracciones de unidad puede ser escrito como una diferencia en la armónica de los números, sino porque armónica de los números no tienen un orden elemental fórmula (como $\log (1+x)$), esto no es demasiado útil.

También, mientras que la sumación por partes es útil, arbitraria sustituciones no son tan fáciles como lo son con las integrales: Para obtener la fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros a $n$ números impares se puede hacer con la suma de los primeros a $n$ plazas, pero no es tan fácil como la sustitución para el cálculo de antiderivatives, y no existe un método general para cosas como esta.