Verificar la prueba de la teoría del número elemental (Olimpiada rumana)

Question

Se puede comprobar que no hay errores en esta prueba escribí?

Aquí está el problema (desde el 2002 rumano Olimpiada):

Deje $p, q$ ser de dos números primos. Demostrar que hay enteros positivos $a, b$, de modo que la media aritmética de todos los divisores del número de $n = p^a q^b$ es también un número entero.

Aquí está mi intento:

Desde $p$ $q$ son distintos, $p \neq 2$ o $q \neq 2$. Asumir WLOG que $q \neq 2$.

Elegir $$a = (q+1)/2 - 1$$ $$b=1.$$

Tenga en cuenta que $a$ es un número entero positivo porque $q$ es impar y $q \geq 3$.

Ahora sigue que $p^a q^b = p^a q$ y tiene divisores $$p^0, p^1, \dots, p^a,$$ $$p^0 q, p^1 q, \dots, p^a q.$$

Hay $2(a+1)$ de ellos, por lo que su media aritmética es $$\frac{1}{2(a+1)}\left[ \left( p^0 + p^1 + \dots + p^a \right) + \left( p^0 q + p^q 1 + \dots + p^q \right) \right]\\ = \frac{1}{2\left(\frac{q+1}{2}\right)}\left[ \left( p^0 + p^1 + \dots + p^a \right) + q \left( p^0 + p^1 + \dots + p^a \right) \right]\\ = \frac{1}{p+1}\left[ (p+1) \left( p^0 + p^1 + \dots + p^a \right) \right]\\ = p^0 + p^1 + \dots + p^una.$$

Este es un entero como se desee.

Answer 1

La prueba está bien, pero la magia de los valores de $a$ $b$ me molestan. Así, Voy a probar para encontrar todas las soluciones.

Spoiler: Yo no, pero no le dan algunas condiciones.

La suma de los divisores de $p^aq^b$ es $\sigma(p^aq^b) =\dfrac{(p^{+1}-1)(p^{b+1}-1)}{(p-1)(q-1)}$ y el número de divisores es $d(p^aq^b) =(a+1)(b+1)$. Por lo que el promedio es de $r(p^aq^b) =\dfrac{\sigma(p^aq^b)}{d(p^aq^b)} =\dfrac{(p^{+1}-1)(p^{b+1}-1)}{(p-1)(q-1)(a+1)(b+1)}$.

En su caso, este es $a=(q-1)/2, b=1$, así $a+1 = (q+1)/2$ y

$\begin{array}\\ r(p^aq^b) &=\dfrac{(p^{a+1}-1)(q^{b+1}-1)}{(p-1)(q-1)(a+1)(b+1)}\\ &=\dfrac{(p^{(q+1)/2}-1)(q^{2}-1)}{(p-1)(q-1)((q+1)/2))2}\\ &=\dfrac{(p^{(q+1)/2}-1)(q^{2}-1)}{(p-1)(q-1)(q+1)}\\ &=\dfrac{(p^{(q+1)/2}-1)}{(p-1)}\\ \end{array}$

y este es un número entero.

Si $b=1$,

$\begin{array}\\ r(p^aq^b) &=\dfrac{(p^{a+1}-1)(q^{b+1}-1)}{(p-1)(q-1)(a+1)(b+1)}\\ &=\dfrac{(p^{a+1}-1)(q^{2}-1)}{(p-1)(q-1)(a+1)2}\\ &=\dfrac{(p^{a+1}-1)(q+1)}{2(a+1)(p-1)}\\ \end{array}$

Para que esto sea un número entero es suficiente con que $2(a+1) | (q+1)$, así $2(a+1) = q+1$ obras si $q$ es impar. En general, si $q+1 = 2m(a+1)$, $a = \dfrac{p+1}{2m}-1$. Si $q = 2^uv-1$ donde $u \ge 1$ $v$ es impar, entonces $a = \dfrac{2^uv}{2m}-1 = \dfrac{2^{u-1}v}{m}-1$. En particular, la elección de $m=v$ da $a = 2^{u-1}-1$ y $m = 1$ da OP de la solución.

Otra posibilidad es tener $a+1 = 2m$ , de modo que $\dfrac{(p^{+1}-1)(q+1)}{2(a+1)(p-1)} =\dfrac{(p^{2m}-1)(q+1)}{2(a+1)(p-1)} =\dfrac{(p^{m}-1)(p^{m}+1)(q+1)}{4m(p-1)}$ así que $4m | (p^m+1)$ iba a funcionar. Para $m=1$, esto requiere que $p \equiv 3 \bmod 4$; para $m=2$, esto requiere que $p^2 \equiv 7 \bmod 8$ lo que no puede suceder ya que $p^2 \equiv 1 \bmod 8$.

Si $a+1=2m$ $b+1 = 2n$

$\begin{array}\\ r(p^aq^b) &=\dfrac{(p^{a+1}-1)(q^{b+1}-1)}{(p-1)(q-1)(a+1)(b+1)}\\ &=\dfrac{(p^{2m}-1)(q^{2n}-1)}{(p-1)(q-1)4mn}\\ &=\dfrac{(p^{m}-1)(q^{n}-1)(p^{m}+1)(q^{n}+1)}{(p-1)(q-1)4mn}\\ \end{array}$

así es suficiente si $4mn | (p^{m}+1)(q^{n}+1)$.

En este punto, Yo no veo ninguna soluciones fáciles, lo voy a dejar aquí.