¿Las operaciones binarias deben ser funciones surjective?

Question

Deje $\star$ ser una operación binaria en el conjunto de $S=[0,1]$ define a ser $$\star : [0,1] \times [0,1] \to [0,1]$$

$$\text{where } a \star b = \text{min}\left(\frac12 a , \frac12 b\right)$$

A partir de la observación, podemos ver que el conjunto de $S$ es cerrado bajo $\star$ y que a cada par ordenado $(a,b)$ se asigna a un solo elemento en $S$.

Por ejemplo, $1 \star 0.3 = 0.15$

Pero también no tener cada elemento en el codominio de ser golpeado. No existe en $(a,b) \in S^2$ tal que $a \star b = 0.75$, por ejemplo.

¿Esto causa un problema en absoluto? Es $\star$ todavía se considera una operación binaria en $S$? En clase nos dijeron que todas las operaciones binarias se surjective, pero el libro de texto para la clase de los estados no hay tal cosa. Y si no es un problema, me pregunto si no hay nada más complicado o "elegante" ejemplos. Estoy interesado a ver si ellas son.

Gracias por la aclaración sobre mi confusión.

Answer 1

Las operaciones binarias no necesitan ser surjective. Aquí hay un ejemplo natural:

Dejar $\mathbb N = \{1,2,3,\dots \}$. Entonces$+: \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$ no es surjective porque$1$ no está en la imagen.

Aquí hay otro ejemplo natural, más interesante:

Dejar $\mathbb N' = \{2,3,\dots \}$. Entonces$\times: \mathbb N' \times \mathbb N' \to \mathbb N'$ no es surjective porque los números primos no están en la imagen.

Answer 2

En general, las operaciones binarias no son surjective.

Tenga en cuenta que, por ejemplo, para algunos de $S$ y un fijo $s \in S$ la operación dado por $a \times b = s$ todos los $a,b \in S$ es una operación binaria.

Acaba de operación binaria significa muy poco. Es, literalmente, sólo una función de$S\times S$$S$.

Sin embargo, si el archivo binario relación tiene un elemento de identidad (o justo a la izquierda de la identidad o de un derecho de identidad, también habría de ser suficiente), entonces se puede ver directamente que es surjective. Esto puede o no puede ser la razón de la discrepancia que se observa. También explica por qué no algunos de los más comunes operaciones binarias, que son, de hecho, surjective (tienen una identidad), y muestra, además, una manera de cómo construir algunos algo natural que no.

Tenga en cuenta que en los dos ejemplos en lhf la respuesta de ellos con prudencia evita tener los respectivos natural elemento neutro en el conjunto.

Permítanme añadir algunos ejemplos más:

• Los reales mayor que $0.5$ con la adición. Esto también funciona para los reales mayor que $t$ para cualquier fijo positivo $t$, sin embargo, no para los positivos reales.

• Los reales en el intervalo de $[-0.5,0.5]$ con la multiplicación (funciona para cualquier intervalo cerrado, incluso los que no son simétricos en $(-1,1)$, pero no por $(-1,1)$ sí).

• Los reales, o también en el de los números complejos con valor absoluto mayor que $2$ con la multiplicación (obras por más de $t$ fijos $t > 1$, sin embargo, no por más de $1$).

• El $n \times n$ (real) de matrices con determinante mayor de $2$ (funciona para cualquier fija $t>1$).

Answer 3

Daré un ejemplo simple y no elegante. Considere que$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definido por $$f(x, y) = 0$$ think of this function as assigning the value $0$ to every point on the plane. Certainly $f$ es una operación binaria, pero es tan poco surjective como una función así puede obtener.

Answer 4

Si se define la operación en un conjunto $S$ como una función de $S \times S$ S, entonces no tiene razón de ser surjective, y usted y otros le dieron muchos ejemplos de este tipo no surjective funciones.

Pero el común de la verdad operaciones son surjective, simplemente porque el mundo real de las operaciones. Casi todos (si no todos) muy interesante, la operación tiene un invariante elemento: $i$ que $\forall x \in S, i \otimes x = x$. Dicho elemento es suficiente para garantizar que la operación será surjective, y todas las operaciones con interesantes propiedades.