¿Cuál es el nombre de este resultado sobre triángulos isósceles?

Question

es isósceles con $\Delta ABC$ $AB=AC=p$. $D$ es un punto en $BC$ donde $AD=q$, $BD=u$ y $CD=v$.

A continuación, los asimientos siguientes.

$$p^2=q^2+uv$$

Me gustaría saber si este resultado tiene un nombre.

Answer 1

Teorema de Stewart

Que $a$, $b$, y $c$ son la longitud de los lados de los triángulos. Que $d$ sea la longitud de la cevian al lado de longitud $a$.  Si el cevian divide el lado de longitud $a$ en dos segmentos de longitud $m$ y $n$ $m$ adyacente a $c$ y $n$ adyacente a $b$, entonces Teorema de Stewart Estados que $b^2m +c^2n=a(d^2+mn)$

Nota

Teorema de Apolonio es un caso especial de este teorema.

Answer 2

Edición: Se me olvidaba algunos factores $\frac{1}{2}$.

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Derivación: #% $ $$h^2 = p^2 - \frac{1}{4}(u+v)^2\ ,$ $ $$q^2 = h^2 + \frac{1}{4}(u-v)^2\ ,$% #% Dónde está la altura perpendicular a $h$. Por lo tanto, $BC$ $ no sé si tiene un nombre, pero sin duda es una buena fórmula.

Answer 3

Además el teorema de Stewart, teorema de Ptolomeo da también como una consecuencia inmediata: $ \def\len#1{\overline{#1}} \def\ang{\angle} \def\para{\parallel} \def\tri{\triangle} $

Que $E$ sea el reflejo de la $A$ sobre la mediatriz de $CD$. Entonces claramente $\len{CE} = q$ y $\len{DE} = p$. También $DE \para AB$, que $\tri ABD \equiv \tri DEA$ y por lo tanto $\len{AE} = u$. Finalmente $ADCE$ es cíclico, por lo que el teorema de Ptolomeo da el resultado deseado.

Answer 4

Este resultado (varias pruebas) aparece en una nota de L. Hoehn en la Matemática de La Gaceta (Marzo de 2000, pp 71-73). El autor sugiere que, plausiblemente, que debe de haber sido encontrado muchas veces, pero señala que "no parece aparecen en la matemática de la literatura". Él no se refiere a o proponer cualquier nombre para el resultado.

Answer 5

Puede verse como un corolario muy sencilla del teorema de cuerdas que se intersectan. Si $c$ es un círculo con centro $A$ y pasando por $B$ y $C$, $c$ % radio $p$. Entonces un acorde de $BC$ $c$ e intersección de línea $AD$ $c$ forman un diámetro, decir en puntos $E$ y $F$ (supongo que $E$ es el punto más cercano a $D$). $ED=p-q$ Y $FD=p+q$. Su resultado se desprende el teorema del acorde que se cruzan: $ED\cdot FD=BD\cdot CD$.