¿Por qué daría un experimento de péndulo $g > 9.8\ \mathrm{m/s^2}$?

Question

Estoy tomando una clase de introducción curso de laboratorio en el que hemos hecho un experimento en el péndulo físico.

Hemos visto que para pequeñas oscilaciones, el periodo es

$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{I_S}{Mgd_{cm}}}\tag{1}$$

donde $S$ es el punto de pivote, $M$ es la masa total del objeto, y $d_{cm}$ es la distancia entre el $S$ y el péndulo del centro de masa.

Ahora, variando $d_{cm}$, he obtenido siete diferentes períodos. He calculado $g$ en términos de $T$ $d_{cm}$ para los siete valores distintos de $T$$d_{cm}$. Por eso, $g$ puede ser expresado como

$$g=4\pi^2\dfrac{I_S}{T^2Md_{cm}}.\tag{2}$$

Todos los periodos que he obtenido es siempre mayor que $1$, y los valores de $g$, donde entre las $10.15$$10.3$. Estoy tratando de entender por qué es que $g$ me dio siempre mayor que $9.8$, el valor esperado, y no menos de $9.8$. Si tengo en cuenta el rozamiento con el aire, yo esperaría que el periodo sea mayor; a partir de lo que he dicho y a partir de la ecuación (2), yo diría que los valores de $g$ debe ser de menos de $9.8$, contrario a los valores que tengo que hacer.

Tenga en cuenta que ese $T$ es en segundos, $[g]=\dfrac{m}{s^2}$ y el ángulo desde el que el péndulo se publicó es de $25$ grados aproximadamente.

Agradecería si alguien me podría ayudar a entender la razón por la que he obtenido estos valores de $g$.

Answer 1

I) OP es utilizando la fórmula

$$\tag{1} T~=~2\pi\sqrt{\frac{I}{MgR}} $$

para un compuesto/física péndulo (en la pequeña amplitud límite) para calcular la aceleración de la gravedad constante

$$\tag{2} g~=~\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{I}{MR}. $$

Aquí $I$ es el momento de inercia alrededor del punto de pivote; $R$ es la distancia de CM del punto de pivote; y $M$ es la masa total.

II) Después de hacer el experimento OP encuentra los valores de $g$ que son 3-5% demasiado grande. (Estos resultados son lo suficientemente cerca que OP probable que no hizo ninguna elemental de corregir los errores de las unidades.) De un número finito de amplitud de

$$\tag{3} \theta_0 ~\approx ~25^{\circ}~\approx~ .44~ {\rm rad}$$

hace que el péndulo

$$\tag{4} \frac{\theta_0^2}{8}~\approx~ 2\%$$

más lento, en comparación con el ideal del péndulo (1), cf. comentario por Prahar. Así que la corrección de un número finito de amplitud hace OP estimaciones peor, 5-7% demasiado grande, como Keith Thompson señala en un comentario anterior.

Por lo que la discrepancia es causada por algo más. El culpable es probable que sea difícil obtener una estimación precisa para el momento de inercia de la $I$. Todas las otras cantidades $T$, $M$ y $R$ debe ser bastante fácil de medida fiable. Así OP valor de $I$ es demasiado grande. De acuerdo con el teorema de Steiner

$$\tag{5} I~=~MR^2+I_0,$$

donde $I_0$ es el momento de inercia alrededor de la CM (y la cantidad real que es poco conocido).

III) a Continuación sigue una sugerencia. Parcela OP siete puntos de datos en un $(x,y)$ diagrama con los ejes

$$\tag{6} x~:=~R^2 \quad\text{and}\quad y~:=~R\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.$$

Teóricamente, el $(x,y)$ puntos de datos debe aparecer en una línea recta

$$\tag{7} y~=~ax+b$$

con pendiente

$$\tag{8} a~=~\frac{1}{g}$$

y $y$-interceptar

$$\tag{9} b=~~\frac{I_0}{gM}.$$

En otras palabras, encontrar el mejor ajuste de línea recta. Este método se espera debe producir una buena estimación de $g$ sin tener que conocer a $I_0$ a priori. (Por cierto, aviso que en principio no es necesario conocer la masa de $M$, cf. el principio de equivalencia!)

IV) por último, como siempre en los experimentos, la estimación de todas las incertidumbres en las distintas mediciones.