Dado un campo de número de $K$, cuando es su Hilbert campo de clase de un abelian extensión de $\mathbb{Q}$?

Question

Dado un campo de número de $K$, cuando es su Hilbert campo de clase de un abelian extensión de $\mathbb{Q}$? Voy a estar en la carretera pronto, así súplicas no se ofenda si no me responden rápidamente a un comentario.

Answer 1

El género de la clase de terreno de una extensión de $K/F$ se define para ser la más grande extensión de $L/K$ con las siguientes propiedades:

1. $L/K$ es unramified
2. $L$ es el compositum de $K/F$ y un abelian extensión de $A/F$.

Así, la rápida respuesta a su pregunta es: Hilbert campo de la clase de $K$ es abelian ${\mathbb Q}$ si y sólo si el Hilbert campo de la clase de $K$ coincide con el género, la clase de campo.

El no-tan-respuesta rápida le dirá más acerca de la construcción del género, la clase de campo. Para abelian extensiones de los racionales, la construcción es fácil: todo lo que te gustaría saber debe estar contenida en Frölich del libro

• Central de extensiones, grupos de Galois, y el ideal de clase de los grupos de campos de número de AMS 1983

Básicamente, usted tendrá que buscar el más grande de abelian extensión de ${\mathbb Q}$ con el mismo conductor de la $K/{\mathbb Q}$.

Answer 2

Obivously, si Hilbert campo de la clase de $H$ $K$ es abelian $\mathbb Q$, a continuación, $K$ (que es un subcampo de la $H$) debe ser abelian $\mathbb Q$. Así que supongo que este es el caso. En general, existe una máxima subcampo de $H$ que es abelian $\mathbb Q$; llamarlo $F$. Sin duda, contiene $K$, y se llama el género de campo de $K$. Por la clase de teoría de campo de la $Gal(F/K)$ es el cociente de la clase grupo$Cl(K)$$K$. Que el cociente? Al menos al $Gal(K/\mathbb Q)$ es cíclico, es el máximo cociente en el que $Gal(K/\mathbb Q)$ actos trivialmente.

Si $K$ es cuadrática, a continuación, $Gal(K/\mathbb Q)$ actúa en $Cl(K)$ por inversión, por lo $F/K$ corresponde a la máxima de 2 de primaria abelian cociente de $Cl(K)$. En particular, en este caso $F = H$ si y sólo si $Cl(K)$ es una primaria abelian 2-grupo. (E. g. $\mathbb Q(\sqrt{-5})$, cuyo grupo de clase es de orden 2.)

Answer 3

Hay un buen/intuitiva forma de generar un stock de ejemplos de no-abelian unramified extensiones? Los únicos ejemplos que conozco son un poco intuitivo (por ejemplo, en Janusz del libro). La intuición podría sugerir a empezar a buscar en las extensiones de Galois con grupo de iguales a los semi-productos directos. Se me había interesado en esta cuestión por la necesidad de "ab" en el lado derecho de la $H^{1} (X_{Zar}\,, \mathcal{O}_{X} ^ {*}) = \pi_{1} ^{ab} (X), \; \; X = Spec\; \mathcal{O}_K$ ` (re-interpretación de unramified global cft).

Answer 4

Se me ocurrió venir a través de esta pregunta de nuevo hoy. En algunos casos al menos, la de Hilbert campo de la clase de $H$ de un abelian extensión de $K$ $\mathbf{Q}$ serán abelian $\mathbf{Q}$ puramente algebraica razones.

Deje $F$ ser cualquier campo, $K|F$ un abelian de extensión de grupo$G=\mathrm{Gal}(K|F)$, y con un primitivo $n$-ésima raíz de la unidad para algunos $n>1$, $\omega:G\to(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^\times$ el cyclotomic personaje dando a la acción de la $G$$\mu_n$, e $H|K$ un abelian extensión de exponente dividiendo $n$. A continuación, $H=K(\root n\of D)$ para algunos de los subgrupos $D\subset K^\times/K^{\times n}$, por Kummer teoría. Se puede comprobar que el $H|F$ es galoisian si y sólo si $D$ $G$- estable. Cuando tal es el caso, la conjugación de la acción de $G$ $\mathrm{Gal}(H|K)$ de los provenientes de la corta secuencia exacta $$1\a\mathrm{Ga}(H|K)\a\mathrm{Ga}(H|F)\G\to1$$ es trivial si y sólo si $G$ actúa en $D$ través $\omega$. En esta situación ($H=K(\root n\of D)$ para algunos de los subgrupos $D\subset(K^\times/K^{\times n})(\omega)$), una condición suficiente para $H$ a ser abelian $F$, es que el orden de $G$ ser el primer a $n$, debido a que, a continuación,$\mathrm{Gal}(H|F)=\mathrm{Gal}(H|K)\times\mathrm{Gal}(K|F)$.

Estoy seguro de que esta situación puede ser realizada al $F=\mathbf{Q}$, por ejemplo, cuando el finito abelian extensión de $K$ tiene impar grado $[K:\mathbf{Q}]$, $n=2$, el grupo de clase de $K$ tiene orden de ($1$ o) $2$, e $H$ es la de Hilbert campo de la clase de $K$. En este caso, la extensión de $H|\mathbf{Q}$ será necesariamente abelian.

Answer 5

Creo $K$ tiene que ser una abelian extensión de $\mathbb{Q}$ de la clase número uno. Porque si el de Hilbert campo de la clase es abelian $\mathbb{Q}$, luego está contenida en un cyclotomic campo, por lo $K$ sí está dentro de que cyclotomic campo de lo $K$ es abelian, sino una extensión de los campos dentro de un cyclotomic campo siempre está ramificada (no es 100% seguro, pero me parece que está bien) así que Hilbert campo de la clase no puede ser una extensión adecuada de $K$.

Edit: Definitivamente no ACEPTAR. Ver los comentarios de abajo.