Demostrar que $m$ es ergódica.

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, $f\colon X\rightarrow X$ sea una función. Supongamos que existe una única medida de probabilidad invariante de Borel $m$ . Demostrar que $m$ es ergódica.

Gracias.

Answer 1

Por lo tanto, asuma $m$ no es ergódico, por lo que existe un conjunto invariable medible $A$ tal que $$ 0<m(A)<1. $$

Consideremos ahora las dos medidas siguientes $$ m_1(B):=\frac{m(A\cap B)}{m(A)}\quad\mbox{and}\quad m_2(B)=\frac{m(A^c\cap B)}{1-m(A)} $$ donde $A^c=X\setminus A$ .

Obsérvese que se trata de dos medidas de probabilidad invariantes de Borel.

Por supuesto, deben ser iguales.

Pero $$ m_1(A)=1\neq 0=m_2(A). $$

Así que $m$ es ergódica.