Distancia de un punto a un subespacio cerrado

Question

Deje que $H$ ser un espacio Hilbert, $a \in H$ y $H_0$ ser un subespacio cerrado de $H$ . ¿Es cierto que $d(a,H_0)= \max\ { \langle u,a \rangle : \|u\|=1,\, u \in H_0^ \perp\ }$ ?

Answer 1

Podemos expresar $a=x+y$ donde $y\in H_0$ y $x\in H_0^{\bot}$

La distancia $d(a,H_0)=\left\|a-y\right\|=\left\|x\right\|$ .

Ahora, para $u\in H_0^{\bot}$ con $\left\|u\right\|=1$ , $\langle a,u\rangle=\langle x,u\rangle\leq\left\|x\right\|\left\|u\right\|=\left\|x\right\|$ por la desigualdad de Cauchy-Schwartz. Por tanto, $\left\|x\right\|$ es el máximo que querías.