Si$f=x^2\sin(x^{-2})$, entonces$f'$ existe en todas partes (incluyendo$x=0$) pero$f'$ no es Lebesgue integrable en$[0,1]$ (precisamente debido a la singularidad en$x=0).$ Estoy tratando de encontrar una función$f$ de modo que$f'$ exista en todas partes, pero$f'$ no es integrable de Lebesgue en ningún intervalo. ¿Quizás alguien pueda recordar un ejemplo estándar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No hay ninguna de estas funciones. Desde $f$ es continua, la derivada $$ f'(x) = \lim_{n\to\infty} n(f(x+1/n)-f(x)) $$ es un pointwise límite de funciones continuas, es decir, una función de la clase de Baire $1$. Funciones de Baire clase $1$ tienen muchos puntos de continuidad. Cada punto de continuidad tiene un barrio en el que la función está acotada; ya que también es un Borel de la función, es Lebesgue integrable en dicho barrio.
