¿Es cuasi isomorfismo una relación de equivalencia?

Question

Permita que$E^\bullet$ y$F^\bullet$ sean complejos en una categoría abeliana; ¿Qué significa decir que$E^\bullet$ y$F^\bullet$ son casi isomórficos?

¿Significa solo que hay un mapa de complejos$f:E^\bullet \to F^\bullet$ que induce isomoprismios entre los objetos de cohomología?

¿O también garantiza la existencia de un mapa de complejos$g:F^\bullet \to E^\bullet$ que induce las inversas de$H^pf:H^p(E^\bullet)\to H^p(F^\bullet)$?

Dicho de otra manera: ¿el cuasi isomorfismo es una relación de equivalencia?

Answer 1

$\def\ZZ{\mathbb Z}$ La relación$E \sim F$ definida por «existe un morfismo$E\to F$ que induce un isomorfismo en homología» no es una relación de equivalencia porque no es simétrica (es relfexiva y transitiva)

Por ejemplo, hay un morfismo de$$\cdots 0\to \ZZ\xrightarrow2\ZZ\to0\to\cdots$ $ al complejo$$\cdots 0\to 0\to\ZZ/2\ZZ\to0\to\cdots$ $ que induce un isomorfismo en homología, pero no hay un morfismo distinto de cero en la otra dirección.

La relación útil es el cierre simétrico de esta relación.