¿La localización y la conmutación dual para módulos gratuitos locales de rango$1$?

Question

Deje $A$ integrante de dominio y $M$, $N$ ser finitely generadas $A$-módulos. Yo sé de este tema que uno no puede esperar que $\hom_A(M,N)_P \cong \hom_{A_P}(M_P,N_P)$ a ser cierto en el caso general (aunque me falta el fondo para comprender completamente el dado contraejemplo), pero

lo que si considero que la localización de la doble módulo de $M$, es decir,$N = A$?

Para mis propósitos, me pueden incluso suponer que $M$ es localmente libre de rango $1$. Si yo no calcular mal, el mapa debe ser inyectiva, pero no puedo probar surjectivity. (Una más abstracta, la prueba sería genial también!)

Answer 1

Sí, en el caso de que mencione$Hom$, conmuta con la localización.

Recordatorio
Para un$A$% - module$M$ localmente libre del rango 1, el módulo dual$Hom_A(M,A)$ es el único módulo$L$ tal que$M\otimes L=A$. [Esta es la razón por la cual tales$M$% también se llaman módulos invertibles ]

El resto es fácil: localizando en$P$, obtienes$(M\otimes_A L)_P=M_P\otimes_{A_P} L_P=A_P$ y esto demuestra, de nuevo por Recordatorio, que$L_P=Hom_{A_P}(M_P,A_P)$.
Esto es lo que quería:$(Hom_A(M,A))_P=Hom_{A_P}(M_P,A_P)$