Sé que ya has aceptado Zev Chonoles respuesta, pero me gustaría añadir esto porque de todos modos creo que es útil.
Yo tenía la misma pregunta que tú cuando yo estaba aprendiendo acerca de los módulos (y yo también creo que es una gran pregunta por el camino) y vi el segundo teorema de isomorfismo declarando $(L+N)/N \cong L/(L \cap N)$.
La confusión surge porque cuando nos cociente fuera $L+N$ $N$ somos la identificación de elementos en $L+N$ cuando su diferencia radica en $N$, y debido a $(l_1 + n_1) - (l_2 + n_2) = (l_1-l_2) + (n_1 - n_2)$ $n_1 - n_2 \in N$ esto es lo mismo que decir que el "$L$-componente" (no necesariamente único) de los elementos son congruentes modulo $N$. Por ejemplo, como yo pensaba que era esto: que usted se pueda imaginar todos los elementos de a $L+N$ como ser dispuestos en un (posiblemente infinita) de la matriz, la primera de la lista de todos los elementos de a $L$ como una fila, y luego por encima de cada elemento $l \in L$ en esta fila de la lista de todos los elementos de a $l+n$ $n \in N$ uno por uno, como una columna. A continuación, todos los elementos en una columna en particular son congruentes modulo $N$ a, el elemento de la $L$ en la parte inferior de la columna y, a continuación, el resultado de lo que hemos argumentado anteriormente que la identificación de elementos en $L+N$ modulo $N$ es la misma como la identificación de elementos en $L$ es claramente se ve aquí en el que estamos sólo a identificar los elementos en la fila inferior. Así que sentimos que nos debe esencialmente ser quotienting $L$$N$.
Entonces, esto nos lleva a considerar si $L/N$ aún tiene sentido. Rápidamente nos damos cuenta de que $L/N$ sólo hacer sentidos como un módulo de si $N$ es un submódulo de $L$, pero en este caso el segundo teorema de isomorfismo es trivial porque, a continuación,$L+N = L$$L \cap N = N$. Así que en este caso todo es apenas obvio, pero independientemente de si $N$ es un submódulo de $L$ o no, porque de por encima de los pensamientos, aún nos sentimos intuitivamente que hay una cierta similitud en quotienting fuera $L+N$ $N$ y quotienting fuera $L$ $N$ - y ahí está.
La relación de equivalencia en $L$ de ser congruentes modulo $N$ tiene sentido, independientemente de si $N$ es un submódulo de $L$ o no, por lo que en cualquier caso siempre podemos formar el cociente de clases de equivalencia $L/N$ - lo que perdemos si $N$ no es un submódulo de $L$ es que no hay manera natural de hacer $L/N$ un módulo. Cuál es la similitud entre quotienting fuera $L+N$ $N$ y quotienting fuera $L$ $N$ es que la cardinalidad de a $(L+N)/N$ $L/N$ (consideradas como conjuntos de clases de equivalencia) será el mismo (es decir, habrá el mismo número de clases de equivalencia), ya que, según el argumento anterior muestra (esto es más fácil de ver con la matriz visual) identificación de los elementos de $L+N$ modulo $N$ es esencialmente el mismo como la identificación de los elementos de $L$ modulo $N$. Puede haber algo de confusión en que si $L$ $N$ son finitos, uno podría pensar que la cardinalidad de a $L/(L \cap N)$ debe ser mayor que la de $L/N$ si $L \cap N$ está correctamente contenida dentro de $N$ (es decir, si $N$ no es un submódulo de $L$) por $L/N$ es un conjunto más pequeño. Pero este no es el caso porque en $L$ modding por $N$ es el mismo que el modding por $L \cap N$ debido a las diferencias que verificamos para ver si se encuentran en $N$ siempre necesariamente se encuentran en $L$, de todos modos.
