Los espacios de bucle tienen el tipo homotopy de un grupo topológico

Question

Cada espacio de bucle basado tiene el tipo homotopy de un grupo topológico. Me gustaría entender este hecho, y de esto se trata esta pregunta: ¿por qué es cierto y cómo lo prueba uno?

Creo que tengo una prueba de este hecho (que publicaré a continuación), pero me gustaría obtener una explicación más esclarecedora, de hecho, si es posible, alguna justificación moral para este hecho, ya que el resultado parece poco probable.

Answer 1

Sé que cada basada en bucle espacio es homotopy equivalente a una estricta asociativa monoid : el espacio de la base de Moore bucles. El pleno resultado debe seguir a partir de la teoría de la simplicial conjuntos, donde se puede construir un functor $\mathbb G$ de la reducción de simplicial conjuntos de simplicial grupos que satisface, para cualquier reducido conjunto simplicial $X=X_{\bullet}$,$$|\mathbb{G}X|\simeq\Omega|X|$$ (just in case : a simplicial set $X_{\bullet}$ is reduced if $X 0=\mathrm{pt}$). Because geometric realization (in a convenient category of spaces) admits natural homeomorphisms $|X\times Y|\simeq|X|\times|S|$, $|\mathbb{G}X|$ is always a topological group being a group object in the category of simplicial sets. Furthermore, there most certainly is a "reduced singular simplices functor" $S_{\bullet}^{r}:\mathbf{Top}_*\a sSet^r$ from path connected pointed spaces to reduced simplicial sets, that takes a path connected space $\mathcal X$ to the reduced simplicial set of all singular $n$-simplices $\Delta^n\\mathcal X$ that map the vertices of $\Delta^n$ to the base point of $\mathcal X$, and that satisfies similar properties as the standard singular simplex functor. Then we would have, for any connected based space $(\mathcal X,x_0)$, setting $X=S^r(\mathcal X)$, $$\Omega\mathcal X\simeq\Omega|X|\simeq\mathcal |\mathbb{G}X|$$ Esto parece funcionar, pero me gustaría

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El resultado se supone que para ser contenida tanto en Milnor de papel de Construcción de universal paquetes I y en el Kan del papel de Una combinatoria definición de homotopy grupos, pero una (muy) simple vistazo no revelan mucho.