Segundo teorema fundamental del cálculo en la esfera de la unidad

Question

Sin ser tan seguro, el segundo teorema fundamental del cálculo se puede escribir de la siguiente forma:

Deje $f \in {\cal C}^1(\mathbb{R}^n)$. Entonces, para todos los $x, y \in \mathbb{R}^n$, tenemos \begin{align} f(y) = f(x) + \int_0^1 \langle \nabla f(x + \tau(y-x)), y-x \rangle d \tau, \end{align} donde $\nabla f(x)$ indica el gradiente de $f(x)$.

Un caso de uso de esta formulación se puede encontrar en Nesterov del libro (Conferencias Introductorias sobre Programación Convexa) (Lema 1.2.3).

Me preguntaba si hay forma de esta ecuación para el caso de que $x$ $y$ vive en la unidad de la esfera de $\mathbb{S}^{n-1} \subset \mathbb{R}^n$.

Supongo que la fórmula contiene geodesics, pero no pude encontrar una solución en línea.

Answer 1

Gracias a Ted Shifrin, se me ocurrió esto (algo elemental) conclusión.

Deje ${\cal M} \subset \mathbb{R}^n$ ser una de Riemann colector y deje $\gamma : [0,1] \mapsto {\cal M}$ denotar una curva (la curva geodésica, cf. los comentarios de más abajo) entre dos puntos de $x,y \in {\cal M}$, de tal manera que $\gamma(0) = x$$\gamma(1)=y$.

También vamos a definir una función derivable $f: {\cal M} \mapsto \mathbb{R} $ y una función de $\varphi: [0,1] \mapsto \mathbb{R}$, de tal manera que $\varphi(t) \triangleq f(\gamma(t))$. Por definición, tenemos $\varphi(0) = f(x)$$\varphi(1) = f(y)$. Utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo, podemos escribir: \begin{align} \varphi(1)-\varphi(0) = \int_{0}^1 \varphi'(t) dt, \end{align} donde $\varphi'(t)$ denota la derivada de $\varphi(t)$ con respecto al $t$. Por el teorema de derivación de compuestos de funciones, tenemos \begin{align} \varphi'(t) = \langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle. \end{align} Al combinar estas dos ecuaciones, obtenemos el siguiente resultado: \begin{align} f(y) = f(x) + \int_{0}^1 \langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle. \end{align}

En la distancia Euclídea caso de (${\cal M = \mathbb{R}^n}$), la curva geodésica es sólo una simple línea, de tal manera que $\gamma(t) = x + t(y-x)$. Si sustituimos esta definición de $\gamma$ en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación que escribí en la pregunta original.