- Parece que hay dos significados diferentes de la lógica matemática. Una es "Lógica Clásica, Lógica Intuicionista, etc" y otra "Teoría de Conjuntos, Teoría de Modelos, Teoría Recursiva, etc ( http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic ). Entonces, la Teoría es un poco la mezcla de uno de la clase, y uno de otra clase. ¿Estoy en lo cierto?
Sí, "Lógica (matemática)" se refiere tanto a una materia matemática como a una lógica (proposicional, de primer orden, modal, etc.), muy similar al término "álgebra".
"Teoría" se utiliza a menudo para denotar un sistema no un sistema de lógica. Sin embargo, las teorías se basan en una lógica (específica); amplían la lógica de base con contenidos externos adicionales (por ejemplo $(\forall n\in\mathbb{N})(n + 0 = 0)$ ). Las teorías se suelen clasificar según la lógica que utilizan como base; por ejemplo, se puede oír hablar de "teorías de primer orden". El contenido externo puede ser cualquier cosa de la que se quiera hablar de manera formalizada. Probablemente el ejemplo más famoso sea la Aritmética de Peano (AP) de primer orden.
Las teorías y las lógicas son similares, por ejemplo, ambas tienen axiomas, reglas de inferencia e intentamos dar una semántica adecuada a ambas. Y hay diferencias: si $F$ es una fórmula aleatoria bien formada (wff) de la lógica $L$ , (a menudo) no nos importa si podemos deducir $F$ o $\neg F$ (el hecho de que no podamos deducir $F$ de $L$ se escribe como $L \nvdash F$ ). Si $F$ es una variable proposicional y $L$ lógica proposicional, entonces quiere $F$ (y $\neg F$ ) no se puede deducir de $L$ . Por otro lado, tratamos de evitar estos fenómenos en teorías como la AP (donde es inevitable debido a la incompletitud).
- ¿Qué significa "P es una sentencia demostrable en una teoría T"? ¿Significa "partiendo de los axiomas de T, demostrar que la sentencia P es verdadera con respecto a la Tabla de la Verdad anterior"?
Aproximadamente, sí.
Cuando se da una teoría, se da un conjunto de axiomas - que se ven como simples cadenas de símbolos (sabemos que significan algo, por ejemplo en $2 + 2 = 4$ sabemos que $+$ se refiere a las operaciones que conocemos; pero fingir no conocemos el "significado"), y el conjunto de reglas de transformaciones, que básicamente dicen lo que se puede hacer con los axiomas. Estos dos (y el lenguaje que define lo que es wff) se llaman la sintaxis.
En lo que respecta a la lógica proposicional (PL), uno de estos sistemas (hay más de una formalización de PL) podría dar axiomas como $\neg(P \wedge \neg P)$ y reglas como "Cuando se da $P$ se le permite deducir $P \vee S$ ". Cosas como la conmutación de la disyunción tienen que ser probadas usando tales reglas (aunque ya sabes que " $\vee$ " significa "o", por lo que es obvio que la conmutación se mantiene, no se puede utilizar ese conocimiento externo).
Por otro lado, está la semántica. La semántica no utiliza reglas de transformación, sino "la definición de la verdad". Hay muchas herramientas que ayudan a ver cuándo es verdadera una fórmula dada según dicha definición: las tablas de verdad son una de ellas. Cuando una fórmula es "verdadera" según la definición de verdad de la lógica, escribimos $L \models F$ . Cuando una fórmula es deducible, $L \vdash F$ . Propiedad que $L \models F \Rightarrow L \vdash F$ se denomina exhaustividad. $L \vdash F \Rightarrow L \models F$ se llama solidez. Ambas cosas son válidas para PL y la lógica de primer orden, por lo que se sabe (indirectamente) que F es deducible si su tabla de verdad contiene sólo $\top$ 's.
