¿Cuál es el primer teorema interesante en (Inserte tema aquí)?

Question

En la mayoría de los estudiantes de introducción a la rigurosa prueba-basado en las matemáticas, muchos de los ejercicios iniciales y los teoremas son sólo una prueba de un estudiante en la comprensión de cómo trabajar con los axiomas y desempaquetar las diversas definiciones, es decir, que en realidad no dicen nada interesante acerca de las matemáticas "en la naturaleza". En las diferentes materias, lo que se consideraría la posibilidad de ser el primer teorema (por ejemplo, en la presentación habitual en un estándar de pregrado libro de texto) con contenido real?

Algunos ejemplos son los siguientes. Siéntase libre de agregar a ellos o no de acuerdo, pero como siempre, sus respuestas a una sugerencia por mensaje.

• La teoría de los números: la existencia de raíces primitivas.
• Teoría de conjuntos: el Cantor-Bernstein-Schroeder teorema.
• Grupo de teoría: los teoremas de Sylow.
• Análisis Real: la de Heine-Borel teorema.
• Topología: Urysohn del lexema.

Edit: me parece que accidentalmente se ha creado la etiqueta de "soft-preguntas". Podemos eliminar las etiquetas?

Edición #2: En un comentario, ilya le preguntó "quieres Que el primer resultado después de todas las herramientas básicas que se han introducido?" Eso es más o menos mi pregunta. Creo que parte de lo que yo estoy buscando es el primer resultado que justifica la introducción de todas las herramientas básicas en el primer lugar.

Answer 1

Teoría de grupos finito: yo diría que Teorema de Lagrange, que la orden de un subgrupo divide al orden del grupo. Sin duda es antes de los teoremas de Sylow, ciertamente tiene contenido.

Answer 2

Topología algebraica: dualidad de Poincaré

Answer 3

Teoría del Poset: Teorema de Dilworth.

Answer 4

Puntos en forma de curva elíptica un Grupo abeliano, acreditado a Fermat.

Esto debe verse como un ejemplo cuando introduce la teoría de grupos. Uno fácilmente puede indicar muchos hechos no triviales, como los puntos racionales forman un subgrupo finito generado, cuya torsión es conocida (Mazur), y cuyo rango es el tema de la conjetura del abedul-Swinnerton-tintóreo. (También sería un buen ejemplo del teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados)

Answer 5

Cálculo de orden fraccional o arbitrarias - la derivación de la ecuación conocida de Louisville para mostrar ese cálculo clásico es un caso especial de cálculos fraccionarios, en un papel escrito en 1832.

No se trataba de un ala prueba rigurosa Euclid, pero era importante demostrar un concepto conocido desde por lo menos 1695.