$T^3=\frac{1}{2}(T+T^*) \rightarrow$ T es adjoint del uno mismo

Question

<blockquote> <p>Que $T$ ser una transformación normal - $TT^*=T^*T$, donde * es el operador de uno mismo-anuncio conjunto en un espacio finito.</p> </blockquote> <p>Demostrar que si $T^3=\frac{1}{2}(T+T^*)$, entonces T es adjoint del uno mismo.</p> <p>He tratado de hacer algunos cálculos en $(Tv,u)$ pero no tuve éxito en probar lo siguiente: $(Tu,v)=(u,Tv)$ que es lo que necesito para la transformación de uno mismo-adjoint.</p> <p>Edit: $(T^3,v)=\frac{1}{2}\left(\left(T+T^*\right),u \right)= \left( Tu,v\right)+ \left( T^*u,v\right)=\left( u,T^*v\right)+\left( u,Tv\right)=\left( u,T^3v\right)$ por lo tanto, $T^3$ es adjoint del uno mismo. ¿Significa que el $T$ es adjoint del uno mismo?</p> <p>¡Gracias!</p>

Answer 1

Tenemos $2A^3 =A+A^$ por lo tanto, $A+A^ =(2A^3)^=2(AAA)^ =2(A^* )^3$ así el operador $A^3 $ es adjont de uno mismo. Y por lo tanto el operador $A=f(A^3 ) $ $f(x) =\sqrt[3]{x} $ siendo auto - adjont.