Estoy atrapado en una prueba de una propiedad que se indica en un documento. Imaginemos que tenemos una matriz diagonal $$\Sigma=\begin{pmatrix}\lambda_1& &0\ &\ddots&\0&&\lambda_n\end{pmatrix}$$ with $\lambdai\in\mathbb{R}{\geq 0}$. Consider the following optimization problem for $n\geq k$\begin{align} \min_{A\in\mathbb{R}^{k\times n}}& tr(A\Sigma A^T)\ s.t.\quad& AA^T = I_k \end{align} la solución debe ser elegir el $k$ más pequeños valores de $\lambdai$ por vectores ortonormales en el % de matriz $A$tal que $tr(A\Sigma A^T)=\sum{i=1}^k\lambda_i$ si $\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$, pero no sé cómo derivarlo... parece que un problema bien conocido, simple, tal vez hay un truco común para resolverlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sibylse
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Casi lo consiguió: asumir el w.l.o.g. que $\lambda_1\leq \ldots\leq \lambda_n$\begin{align} tr(A\Sigma A^T)=tr((A\Sigma)^TA) =tr(\Sigma A^TA) \end{align} el rango de $A^TA$ es exactamente $k$, desde $rank(A^TA)=rank(AA^T)=rank(I_k)$ y $A^TA$ es idempotent. Así, existen orthonormal base transformación matrices (vectores propios a la base de valores propios 1 y 0 forma un orthonormal) $B\in\mathbb{R}^n$, que $$ B ^ T A ^ TA B =\begin{pmatrix} I_k&0\ 0&0 \end{pmatrix}, $$ y por lo tanto se sostiene que el $$tr(\Sigma A^TA)=tr(\Sigma B^TA^TAB)=\lambda_1+\ldots+\lambda_k$ $ pero no estoy tan seguro acerca de $tr(\Sigma A^TA)=tr(\Sigma B^TA^TAB)$, alguien sabe por qué ¿lleva a cabo?
