Duda: "Una representación de grupo es exactamente como un módulo sobre el anillo de grupo"

Question

Es tradicional decir que la representación de un grupo $G$ sobre un campo $F$ es "exactamente como" un módulo sobre el anillo de grupo $F[G]$ .

Creo que es inexacto. Creo que un módulo sobre $F[G]$ codifica más que una representación de $G$ . Daré un ejemplo de dos módulos sobre $F[G]$ dando lugar a la misma representación de grupo de $G$ .

Pondré el ejemplo más sencillo:

Dejemos que $G$ sea el grupo trivial de orden $1$ y que $F=\mathbb{C}$ . Puedo dar el grupo abeliano $M=\mathbb{C}$ una estructura de $\mathbb{C}[G]$ -módulo de diferentes maneras. Puedo dejar que cada $z\cdot 1_G\in\mathbb{C}$ actuar $m\in M$ ya sea por $(z\cdot 1_G)\cdot m=zm$ o por $(z\cdot 1_G)\cdot m=\overline{z}m$ .

¿Es cierto que existe una correspondencia biyectiva entre las siguientes colecciones?

1. La colección de pares $(\rho,\theta)$ , donde $\rho$ es una representación de grupo de $G$ en $F$ y $\theta$ es un endomorfismo de campo de $F$ y
2. La colección de módulos sobre $F[G]$

Answer 1

Es posible definir un $\mathbb{C}[G]$ -pero la estructura no es compatible con el módulo $\mathbb{C}$ -estructura de espacio vectorial en $M$ . Cuando se define una representación, se parte de un espacio vectorial, por lo que la acción del campo base está prescrita.

Así que estas dos estructuras de módulos son dos representaciones diferentes:

• el de siempre;
• el que comienza con un espacio vectorial diferente sobre $\mathbb{C}$ que podría llamar $\overline M$ y la acción que has descrito.

En cuanto a su pregunta más general: tiene dos categorías, la categoría de $\mathbb{C}[G]$ -y la categoría de representaciones de $G$ (donde los objetos son pares $(V, \rho)$ , $V$ un espacio vectorial, $\rho : G \to End(V)$ ). Entonces estas dos categorías son equivalentes.