En una asignación, tengo que dar un ejemplo de un 2-dimensional $\ell$-ádico representación de la absoluta Galois grupo de $\mathbb{Q}$, bu me enfrento con el problema que yo no se mucho de esto. O no lo suficiente como para encontrar el ejemplo que estoy buscando.
Más precisamente, vamos a $G$ absoluto Galois grupo en cuestión, y deje $K$ a (fijo) finito extensión de $\mathbb{Q}_\ell$, para algunos el primer $\ell$. Estoy buscando una representación $$ \rho : G \to GL_2(\bar{K}).$$
Los ejemplos que me hacen saber es el trivial de la representación y de los derivados tomando la suma directa o el producto tensor de caracteres (es decir, 1-representaciones tridimensionales) de $G$. El problema es que no parecen dar lo que yo estoy buscando.
Añadido: la Mayoría de las $\ell$-ádico representaciones que surgen a partir de la geometría de la imagen está acostado en $GL_2(\mathcal{O}_K)$. Aunque estos son muy interesantes representaciones, y que (en cierto sentido) siempre se puede reducir a este caso (ver BR comentarios de abajo), lo que estoy buscando son representaciones que no puede ser conjugado (por cualquier elemento de $GL_2(\bar{K})$) de tal manera que la imagen se encuentra en $GL_2(\mathcal{O}_K)$.
La razón por la original redacción es ambigua y no está claro es que tenía la esperanza de construir un mejor repertorio de representaciones de Galois, en la esperanza de finalmente encontrar un ejemplo con las propiedades deseadas.
