Conjetura: solo uno, incluso el término de Fibonacci dividido por dos, da un primo:$F(9) = 34 = 2 \times 17$

Question

Cada Fibonacci plazo $F(3n)$ es divisible por dos

$F(3) = 2$

$F(6) = 8$

$F(9) = 34$

$...$

Después de la búsqueda de Fibonacci tablas de la factorización de hasta $F(10000)$, para cada plazo $\frac{F(3n)}{2}$, pareciera que no hay un solo resultado, que es el primer

$\frac{F(9)}{2} = \frac{34}{2} = 17$

todos los otros $\frac{F(3n)}{2}$ = compuesto de números

No veo razones para que esto ocurra, pero como no hay más números primos en la enorme cantidad de términos, supongo que hay no más cualquier prime para $\frac{F(3n)}{2}$

http://mersennus.net/fibonacci

Miguel Velilla

Answer 1

Recuerde el hecho bien conocido:$n \mid m \iff F_n \mid F_m$.

Por lo tanto,$F_{3n}$ es divisible por$F_3=2$ y$F_n$. Entonces, si$n > 3$ y$\displaystyle \frac{F_{3n}}{2}$ es igual al número primo$p$, entonces$F_n \mid F_{3n}=2p$ entonces tenemos$F_{n}\in\{p, 2p\}$ (porque$F_n>F_3=2$). En particular$F_{3n} \le 2F_n$ que es una contradicción como$2F_n < F_n+F_{n+1}=F_{n+2}<F_{3n}$.

Answer 2

Es bien sabido que si$a$ divide$b$, entonces$Fib(a)$ divide$Fib(b)$.

Ignorando por el momento los casos donde$a=1,2,3$ (en cuyo caso Fib (a) =$1,1,2$), esto significa que$Fib(3a)$ es divisible por$Fib(a) \gt 2$ así$\frac{Fib(3a)}{2}$ es divisible por$\frac{Fib(a)}{2} \gt 1$ si$Fib(a)$ es par o por$Fib(a) \gt 1$ si es impar. Entonces$\frac{Fib(3a)}{2}$ no puede ser primo.

Eso deja los primeros casos$\frac{Fib(3)}{2},\frac{Fib(6)}{2},\frac{Fib(9)}{2}$ que son$1,4,17$, y solo el último de ellos es primo.