Pregunta sobre el grupo cociente: ¿está definida la operación o es una consecuencia?

Question

Dado un subgrupo normal $N \le G$ . ¿Nosotros definir la operación $*$ en $G/N$ para ser

$$(aN) * (bN) = abN$$

o es la operación de grupo el producto habitual,

$$aNbN = \{an_1bn_2 : n_1, n_2 \in N \}$$

siendo lo anterior $abN$ por la normalidad?

Answer 1

Tenemos que definir algún tipo de operación sobre $G/N$ para obtener una estructura de grupo, y así podemos escribir $aN\cdot bN=aNbN$ utilizando la operación en $G$ o podemos establecer formalmente $aN\cdot bN=abN$ . Tienes razón en que cualquiera de las dos definiciones se desprende de la otra a través de la normalidad.

Si definimos $aN\cdot bN=aNbN$ utilizando la multiplicación en $G$ entonces debemos asegurarnos de que $aNbN$ es un coset izquierdo de $N$ . Puede comprobar que todos estos productos $aNbN$ serán cosets de la izquierda de $N$ si y sólo si $N$ es normal.

Si definimos formalmente $aN\cdot bN=abN$ Debemos asegurarnos de que nuestra multiplicación está bien definida, lo que significa que nuestra regla de multiplicación no depende de la elección del representante. En otras palabras, si $aN=a^\prime N$ y $bN=b^\prime N$ , entonces necesitamos $abN=a^\prime b^\prime N$ para que nuestra regla de multiplicación esté bien definida. Puedes comprobar que la normalidad es precisamente la condición que hace que esto sea cierto.

Answer 2

Se pueden tomar ambas cosas como una definición de $aN \cdot bN$ ya que $$(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = ab(NN) = abN$$ por la normalidad de $N$ .