Determine el tipo de isomorfismo

Question

Determine el tipo de isomorfismo del grupo de cocientes$$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / \langle(1,1)\rangle $ $ utilizando el Teorema fundamental Grupos abelianos generados por el finito

después de mirar el grupo de factores, parece todo en$$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$$ is generated except $ (0,0) $. En general, estoy pasando por un momento muy difícil incluso al comenzar este problema.

Answer 1

Afirmamos que el grupo es isomorfo a$\mathbb Z$. Considere el homomorfismo$\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z$ dado por$(a, b)\mapsto a-b$. El kernel es el conjunto de pares cuyas coordenadas son iguales, que es exactamente$\langle (1, 1)\rangle$. El mapa es surjective, ya que$(n, 0)\mapsto n$ para cada$n\in\mathbb Z$. Por lo tanto, según el primer teorema de isomorfismo,$\mathbb Z\times\mathbb Z/\langle(1, 1)\rangle\cong\mathbb Z$.

Answer 2

El grupo generado por$(1,1)$ es$\mathbb{Z}(1,1)$, es decir,$\{(m,m)\}$ donde$m$ se ejecuta sobre$\mathbb{Z}$. Entonces, por ejemplo,$(1,0)$ no es equivalente a cero en el cociente y genera un subgrupo$\{[(m,0)]\}$ isomorfo a$\mathbb{Z}$. Ahora cualquier clase de equivalencia tiene un representante exclusivo de la forma$(m,0)$, ya que$(p,q)$ es equivalente a$(p-q,0)$ y$(m,0)$ no es equivalente a$(n,0)$ si$m\neq n$. Entonces, ¿qué podemos concluir?

Answer 3

Es difícil encontrar algo mejor que la respuesta de Nishant, pero déjame presentarte una variante más, solo por variedad. Dejar $G=\mathbb Z\times\mathbb Z$, $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$, $D=\{(a,a):a\in\mathbb Z\}$. Luego$e_1,e_2$ -$\mathbb Z$ - basis of$G$. Permita que$f_1=e_1,f_2=e_1+e_2$, luego$f_1,f_2$ -$\mathbb Z$ - base de$G$ también, ya que cada uno de estos dos sistemas puede expresarse a partir de otros con coeficientes enteros. Por lo tanto$G=\mathbb{Z}f_1\oplus\mathbb{Z}f_2=\mathbb{Z}f_1\oplus D$. Por lo tanto $G/D\cong (\mathbb{Z}f_1\oplus D)/D\cong \mathbb{Z}f_1\cong\mathbb Z$.