Toda función limitada por un polinomio es un polinomio

Question

Supongamos que una función completa $f(z)$ satisface $\left|f(z)\right|\leq k\left|z\right|^n$ para un tamaño suficientemente grande $\left|z\right|$ , donde $n\in\mathbb{Z^+}$ y $k>0$ es constante. Demuestre que $f$ es un polinomio de grado máximo $n$ .

Answer 1

Desde $f$ es entera, es igual a una serie de potencias centrada en cero con radio de convergencia $\infty$ , que debe coincidir con su serie de Taylor allí.

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$$

Desde $|f(z)|\leq k|z|^m$ , La estimación de Cauchy da

$$|f^{(n)}(0)|\leq \frac{n!k|z|^m}{R^n}$$ para todos $|z|=R$ . Para $n>m$ , dejando que $R\rightarrow\infty$ vemos que $|f^{(n)}|=0$ . De ello se desprende que $f$ es un polinomio de grado $\leq m$ .

Answer 2

Pistas:

• Tenemos por la fórmula integral de Cauchy que $$|f^{(d)}(0)|=\frac{d!}{2\pi R}\left|\int_{C(0,R)}\frac{f(z)}{z^{d+1}}dz\right|.$$
• ¿Qué pasa con $f^{(d)}(0)$ si $d\geq n+1$ ?
• Utilice el hecho de que $f$ es analítica en $0$ para conseguir que $f(z)=\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(0)}{j!}z^j$ en un barrio de $0$ .
• Demuestre que la última fórmula es verdadera para todos los $z\in\Bbb C$ .

Answer 3

Una forma muy sucia de hacer esto:

• Teorema 1: Corolario de la fórmula de Jensen

  Supongamos que $f$ tiene orden de crecimiento $\rho$ . Entonces hay un $C$ que para un tamaño suficientemente grande $R$ , $n(R) \le C R^{\rho} $ donde $n(R)$ es el número de ceros cuya magnitud es menor que $R$ .

• Teorema 2: Teorema de la factorización de Hadamard

  Supongamos que $f$ tiene orden de crecimiento $k \le \rho \lt k+1$ donde $k$ es un número entero. Entonces $f(z)$ se puede escribir $z^m e^{g(z)} \prod_n E_k(z/a_n)$ donde $E_k$ es el kº factor canónico de Weirerstrass y $a_n$ es el enésimo cero de $f$ y $g(z)$ es un polinomio de grado $k$ .

Entonces, observe que por la suposición $f$ tiene un orden de crecimiento cero. Del teorema 1 se deduce que $f$ tiene un número finito de ceros. Del Teorema 2 se deduce que $f$ es un polinomio. Entonces tenemos que poner un poco de trabajo para demostrar que el grado de este polinomio es el que necesitamos. (Sólo hay que argumentar sobre $|f(z)/z^n|$ como $z$ se hace grande)

Answer 4

Observar discos cerrados centrados en el origen, utilizar el principio del módulo máximo para demostrar que la función obtiene su valor máximo en la frontera, demostrar que si se toma un disco más grande, se obtiene un valor mayor, y así utilizar el Teorema de Liouville para obtener que $\lim_{|z| \to \infty} |f(z)| = \infty$ . Entonces demuestre que dicha función es un polinomio.

Answer 5

He aquí un intento de contradicción. Supongamos que $f(z)$ es un polinomio de grado $n+1$ y satisface $|f(z)| \leq k|z|^n$ para alguna constante $k > 0$ .

$$ f(z) = a_0 + a_1 z + \dots + a_{n+1} z^{n+1}$$

Por el Teorema Fundamental del Álgebra, $f(z)$ tiene $n+1$ y se puede escribir como

$$ f(z) = (z-z_1)(z-z_2)\dots(z-z_{n+1}) g(z)$$

donde $z_i, i = 1, 2, \dots, n+1$ son raíces de $f(z)$ y $g(z) \neq 0$ para todos $z$ .

Considere $w \in \mathbb{C}$ que no es una raíz de $f(z)$ .

\begin{align}f(w) &= (w-z_1)\dots(w-z_{n+1})g(w) \\ &= (w^{n+1} + c_1 w^{n} + \dots + c_n \prod_{i=1}^{n+1} z_i)g(w)\\ \end{align}

Entonces \begin{align} |f(w)| &= |w^{n+1} + \dots c_n \prod_{i=1}^{n+1}z_i||g(w)|\\ &= |w^{n+1} g(w) + \dots + c_n \prod_{i=1}^{n+1}z_i g(w)|\\ &\leq k|w|^n \end{align}

Esto implica $k \geq |w g(w) + \dots + c_n \prod_{i=1}^{n+1}z_i|$ . En otras palabras, $k$ depende de $w$ y no una constante que contradice la suposición, por lo que $f(z)$ es un polinomio de grado máximo $n$ .