Suma de una serie infinita poco ortodoxa

Question

$ \frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+\cdots $

Este es un problema poco ortodoxo, y no sé muy bien cómo simplificarlo. ¿Podría obtener una solución? Gracias.

Answer 1

$$\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}$$

Answer 2

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n-1}{2^n}=-1+2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{2^n}=-1+2\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{m\geq n}\frac{1}{2^m}=-1+4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=-1+4=3.$$

Answer 3

Otro enfoque es utilizar suma por partes . Este método funciona de la siguiente manera. Si $$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n b_n$$ entonces podemos definir $$B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$$ Entonces $$S_N = a_N B_N - \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)$$ En este problema, podemos establecer $a_n = 2n-1$ y $b_n = 1/2^n$ . Entonces $$B_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^n}$$ y $a_{n+1} - a_n = 2$ para todos $n$ . Por lo tanto, $$\begin{align}S_N &= a_N B_N - \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n) \\ &= (2N-1)\left(1 - \frac{1}{2^N}\right) - \sum_{n=1}^{N-1} 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \\ &= 2N - 1 - \frac{2N - 1}{2^N} - 2(N-1) + 2\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{2^n} \\ &= 1 - \frac{2N - 1}{2^N} + 2\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{2^n} \\ \end{align}$$ El término medio se reduce a cero cuando $N \rightarrow \infty$ y el término más a la derecha va a $2$ . Así que en el límite, obtenemos $1 + 2 = 3$ .

Answer 4

En esta respuesta , doy una prueba pictórica de que $$\frac14+\frac28+\frac3{16}+\frac{4}{32}+\frac{5}{64}+\cdots=1$$ Con su suma después de dividir por $2$ tenemos $$\frac14+\frac38+\frac5{16}+\frac{7}{32}+\frac{9}{64}+\cdots$$ y la misma imagen se puede utilizar si ampliamos el original $\frac12\times\frac12$ cuadrado tanto a la izquierda como a la derecha y hacia arriba. El límite llenará un rectángulo que es $\frac32$ a lo largo de toda la unidad por $1$ unidad de altura. Así que tendremos $\frac32$ unidades cuadradas de superficie. Como hemos tenido que dividir por la mitad su serie para obtener esta imagen, su serie suma $3$ .

Answer 5

Podemos tomar esto como el $x=\frac12$ caso de la serie

$$f(x)=x+3x^2+5x^3+7x^4+\cdots+(2n-1)x^n+\cdots = \sum_{n=1}^\infty (2n-1)x^n$$

Podemos reconocer en esta suma la serie geométrica

$$S(x)=x+x^2+x^3+\cdots= x+x\left(x+x^2+\cdots\right)=x+x S(x)=\frac{x}{1-x}$$ donde en la última igualdad hemos resuelto el resto de la ecuación para $S(x)$ .

Lo obvio sería sacar esta parte de $f(x)$ de la serie anterior, pero en realidad nos ahorrará algo de esfuerzo si consideramos $f(x)-S(x)$ :

$$f(x)-S(x)=2x^2+4x^3+6x^4+\cdots = 2x^2\left[1+2x+3x^2+\cdots\right]=2x^2\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$$

¿Los términos de la serie entre corchetes te recuerdan algo del cálculo?