Integral de$1/[(1+x^2)\sqrt{1+x^2}]$

Question

Trato de volver a la pista con la integración. Me gustaría resolver

$$ \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}.$$

Hay mi manera de tratar de resolverlo (que no me parece la solución correcta) y un otro modo propuesto en el libro que no entiendo :

Respuesta : $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

1. A mi manera : $$ \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \int_0^1 (1+x^2)^{\frac{-3}{2}}dx $$ Con la sustitución : $t = 1+x^2$ $$ \int_0^1 (1+x^2)^{-\frac{3}{2}}dt = \int_1^2 2tt^{-3/2}dt = 2\int_1^2 t^{-1/2}dt = 4\sqrt{t}|^2_1 = 4\sqrt{2}-3$$ lo cual es incorrecto.
   No sé si hice algo que no estaba permitido.

2. Libro del camino.
   Con la sustitución : $x = \tan(t)$ $$ \int_0^{\pi/4} \frac{1+\tan^2(t)}{(1+\tan^2(t))\sqrt{1+\tan^2(t)}}dt = \int_0^{\pi/4} \cos(t) dt = \sin(t)|^{\pi/4}_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Cómo se dieron cuenta de que era igual a $\cos(t)$ ? Cómo se dieron cuenta de que sería una buena idea para sustituir con $\tan$ ?

Answer 1

En primer lugar tenga en cuenta que:

$$I=\int{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\int{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$

Si entonces tuvo la presencia de ánimo para sustituir $u=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, se nota

$$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^{3/2}},$$

y así,

$$I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}u=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Answer 2

Se trata de algún tipo de sustituciones trigonométricas estándar: $$\sqrt{x^2-a^2}\text{ or }x^2-a^2\tag{$x=a\sin\theta$ or $x=a\cos\theta$}$$ $$\sqrt{x^2+a^2}\text{ or }x^2+a^2\tag{$x=a\tan\theta$ or $x=a\cot\theta$}$$

Answer 3

1 if $t=1+x^2$ y $dt=2xdx $ no $dx=2tdt$ 2.A muy útil regla del pulgar es sustituir % o $x=tan t$ cuando veas $\sqrt{1+x^2}$ $1/(1+x^2)$$1+tan^2t=sec^2t$de usar. Trucos similares incluyen el uso de x = pecado / cos $\sqrt{1-x^2}$ términos como x = sec/csc $\sqrt{x^2-1}$ como términos.

Answer 4

Al usar la sustitución trigonométrica $x=\tan(t)$, podemos ver cómo simplifica el integrando a $\cos(t)$ \ [\frac{(1+\tan^{2}(t))}{(1+\tan^{2}(t))\sqrt{1+\tan^{2}(t)}} =\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}(t)}}=\cos(t) ] espero que esto le ayuda a comprender.

Answer 5

Sin embargo, esta integral no necesita más atención; también puede usar la sustitución para resolver la integral indefinida asociada:

$$1+x^2=t^2x^2$$

Y soyou encontrará la integral como $$\int(-1/t^2)dt$ $