Hensel lemma para esquemas y anillos henselianos

Question

Una versión de Hensel del lema de los esquemas es simplemente la definición de formalmente unramified:

Un esquema de $X$ se dice formalmente etale si:

Para un anillo de $R$ con un ideal $I$ tal que $I^2 = 0$, se tiene que el mapa de $X(R) \to X(R/I)$ es bijective.

Uno ve que esto implica que para un local completo anillo de $R$ residen campo $k$, el mapa de $X(R) \to X(k)$ es bijective. Hay versiones similares para formalmente liso/unramified.

Pregunta: En el último párrafo, me gustaría sustituir por completo henselian. Es cierto y si es así, ¿qué es una referencia?

Answer 1

Desde la publicación de la pregunta, yo he aprendido un par de cosa:

Deje $(R,\mathfrak m)$ ser un noetherian henselian anillo local con residuo de campo $k$ y de finalización de la $\hat R$. Entonces si $X$ es formalmente unramified $$, the map $X(R) \a X(k)$ es inyectiva.:

Esto es simplemente porque por defn de formal unramified, $X(\hat R) \to X(k)$ es inyectiva y desde $R$ es noetherian, el mapa de $R\to \hat R$ es inyectiva. Por lo tanto, $X(R) \to X(\hat R)$ es inyectiva y componer con la primera inyección, hemos terminado.

Ahora si $X$ es etale, a continuación, el mapa de $X(R) \to X(k)$ es bijective:

Esto es simplemente para expresar el hecho de que si $R \to S$ es etale, entonces para cualquier punto cerrado $s \in S$ con residuos de campo $k$, no hay una única sección de $S\to R$ eso envía a$s$$\mathfrak m$.

Yo todavía no sé de qué se suponía que debía reemplazar formalmente liso.